Построение эпюры .

Эпюра есть график, ординаты которого в каждом сечении выражают в известном масштабе величину внутренней поперечной силы[8].

Возьмём сечение I-I между точками и на расстоянии от опоры (см. рис.1).

Рассматривая левую отсечённую часть, найдём значение силы в сечении I-I как сумму внешних сил на этой условно отсечённой левой части балки:

. (3)

Из уравнений (3) видно, что внутренняя поперечная сила на участке положительна и не зависит от значений абсциссы (переменная не входит в уравнения (3)), т.е. её эпюра на этом участке балки – линия нулевого порядка (см. Э.Q. рис.1).

Для построения эпюры на втором грузовом участке рассмотрим сечение II-II на расстоянии от опоры .

Выражение (1) для этого участка по переменной будет аналогично предыдущему, как и по первого участка:

(4)

– (учитываем, что заданный внешний момент входит только в уравнение моментов).

Таким образом, на участке эпюра внутренних поперечных сил будет являться продолжением линии нулевого порядка участка с ординатой 37,8 кН.

Пользуясь теми же выкладками, составим выражение (1) для сечения III-III между точками и на расстоянии от опоры :

(кН). (5)

Переменная также не входит в уравнение (5), поэтому и на участке эпюра поперечных сил будет линией нулевого порядка с ординатой 17,8 кН. В точке приложения силы кН (Э.Q. рис.1) эпюра поперечных сил делает скачок на величину этой силы.

Составим аналитическое выражение (1) для сечения IV-IV между точками В и Е на расстоянии от правой опоры В:

(кН). (6)

Уравнение (6) является уравнением первой степени, т.е. прямой линии (переменная в первой степени), поэтому её можно построить по двум точкам: достаточно вычислить два крайних значения на рассматриваемом участке :

при   (кН);

при   кН.

Соединив точки этих двух значений, получаем на участке наклонную прямую, которая пересекает нулевую линию (рис.1).

Для построения эпюры внутренних изгибающих моментов[9] , пользуясь методом сечений, составим аналитическое выражение в общем виде (2) для каждого из четырёх грузовых участков балки по переменным :

(кН×м) (7) (кН×м) (8) (кН×м) (9) (кН×м) (10)

Уравнения (7), (8), (9) являются уравнениями первой степени с переменными , поэтому на участках , и момент будет меняться по закону прямой линии. Для построения эпюры на этих трёх грузовых участках достаточно задаться двумя крайними значениями переменной для каждого участка, подставить их в формулы (7), (8), (9) и точки найденных значений соединить прямыми линиями:

при (кН×м);

при (кН×м);

при (кН×м);

при

(кН×м);

при

при

Из построения видно (см. Э.Q. рис.1), что в точке приложения внешнего изгибающего момента эпюра внутренних изгибающих моментов делает скачок на величину этого момента (претерпевает разрыв).

В уравнении (10) переменная во второй степени, т.е. на участке со сплошной нагрузкой эпюра будет представлять собой кривую 2-го порядка – параболу выпуклостью навстречу направлению нагрузки (навстречу «падающему дождю» – правило зонтика).

Любая парабола эпюры на участке со сплошной нагрузкой строится не менее, чем по трём точкам.

Если на этом участке наклонная прямая эпюры не пересекает нулевую линию, то все точки параболы лежат в пределах крайних её значений и парабола не имеет вершины. В этом случае парабола моментов строится при значениях переменной x в двух крайних значениях участка и в середине этого участка.

Если прямая 1-го порядка эпюры на участке со сплошной нагрузкой пересекает нулевую линию, (как в нашем примере на участке рисунка 1), то парабола эпюры на этом участке имеет вершину. Для такого случая третьей точкой параболы будет не середина участка, а вершина параболы.

Внутренний изгибающий момент достигает экстремума в тех сечениях, где поперечная сила обращается в нуль. Эти важнейшие следствия вытекают из теоремы Журавского:

. (11)

Из этой дифференциальной зависимости вытекает не менее важное следствие: сила положительна на тех участках балки, где эпюра восходящая линия (при движении слева направо), и отрицательна на тех участках, где эпюра нисходящая. Следует также обратить внимание на следующие зависимости, вытекающие из формулы (11). На тех участках балки, где изгибающий момент изменяется по параболе (кривая 2-го порядка), поперечная сила изменяется по линейному закону, т.е. эпюра – наклонная прямая (линия 1-го порядка). Там же, где изменяется по линейному закону, т.е. эпюра – наклонная прямая, то поперечная сила постоянна и её эпюра – горизонтальная прямая (линия нулевого порядка).

Вообще порядок функции, описывающей закон изменения , на единицу ниже порядка функции, выражающей закон изменения . Это следует непосредственно из формулы (11). Все эти зависимости являются критериями оценки правильности построения эпюр и .

Вернёмся к нашему примеру. Построим эпюру для участка балки по трём точкам: две точки при крайних значениях переменной на этом участке (уравнение 10)

при (кН×м);

при

(кН×м)[10]

и третьей точки при значении равному расстоянию от опоры до точки пересечения прямой с нулевой линией на Э.Q. Обозначим это расстояние через (Э.Q.рис.1).

Из формулы (11) очевидно, что в этом сечении участка парабола эпюры (рис.1) будет иметь экстремум, т.е. вершину. Найдём координату этого сечения, т.е. определим численное значение .

Приравняем уравнение (6) нулю, потому что эпюра в этой точке пересекает нулевую линию, т.е. значение внутренней поперечной силы в этом сечении равно нулю:

.

Отсюда: Þ  (м).

Значение вершины параболы эпюры на участке (см. формулу 10):

при м 

(кН×м).

Рис.1.

По трём значениям переменной (0; 1,4 м; 2 м) строим параболу на участке с вершиной (кН×м) Þ см. рис.1, Э.М. (Для более точного построения параболы М можно рассчитать большее количество точек эпюры, давая значения переменной в пределах рассматриваемого участка).

Площади, ограниченные нулевыми линиями (Э.Q. и Э.М) и построенными линиями эпюр, заштриховываются прямыми линиями, перпендикулярными оси балки (можно цветными карандашами). Площади эпюр и выше нулевых линий обозначают в кружке плюсом Å, а ниже нулевых линий – минусом Θ (см. рис.1).

Проверяем правильность построения эпюр и , пользуясь зависимостями, вытекающими из теоремы Журавского (формула 11).