Нахождение собственных значений квадратной матрицы

Матрица M2 после преобразования представлена в таблице 6.

Таблица №6

	1/4
	1/6	1/3
	1/7	1/6	1/4
	1/9	1/7	1/5	1/3

 

При использовании данного подхода к вычислению вначале определяется собственное значение матрицы, как решение уравнения |M-λE| = 0.

1-λ 4 6 7 9

1/4 1-λ 3 6 7

1/6 1/3 1-λ 4 5

1/7 1/6 1/4 1-λ 3

1/9 1/7 1/5 1/3 1-λ

 

Для нахождения собственных значений матрицы использовался Matlab.

В результате получаем собственные значения матрицы:

λ₁=5.3977, λ₂=0.0256 + 1.4442i, λ₃=0.0256 – 1.4442i, λ₄=-0.2244 + 0.1809i,

λ₅=-0.2244 – 0.1809i

Берем λ_max = 5.3977

Найдем собственный вектор матрицы M, решив уравнение (M-λE)w = 0

1-5.3977 4 6 7 9 w₁

1/4 1-5.3977 3 6 7 w₂

1/6 1/3 1-5.3977 4 5 w₃ = 0

1/7 1/6 1/4 1-5.3977 3 w₄

1/9 1/7 1/5 1/3 1-5.3977 w₅

Получаем систему уравнений:

-4.3977 w₁+ 4 w₂ + 6 w₃ + 7 w₄ + 9 w₅ = 0

0.25 w₁ - 4.3977 w₂ + 3 w₃ + 6 w₄ + 7 w₅ = 0

0.1667 w₁ + 0.3333 w₂ – 4.3977 w₃ + 4 w₄ + 5 w₅ = 0

0.1429 w₁ + 0.1667 w₂ + 0.25 w₃ – 4.3977 w₄ + 3 w₅ = 0

0.1111 w₁ + 0.1429 w₂ + 0.2 w₃ + 0.3333 w₄ – 4.3977 w₅ = 0

 

Система имеет только нулевое решение, поэтому заменяем одно из уравнений условием нормировки (последнее уравнение)

w₁ + w₂ + w₃ + w₄ + w₅ = 1

Тогда получаем решение:

w₁ = 0.5448

w₂ = 0.2426

w₃ = 0.1255

w₄ = 0.0556

w₅ = 0.0316

Значения функций принадлежности после нормирования:

w₁ = 1

w₂ = 0.4453

w₃ = 0.2303

w₄ = 0.1020

w₅ = 0.0579