Основные показатели корреляционно-регрессионного анализа

При изучении тесноты связи между двумя взаимозависимыми рядами применяется линейный коэффициент корреляции, который показывает, существует ли и насколько велика связь между этими рядами. Он может принимать значения в пределах от – 1 до +1.

Если линейный коэффициент корреляции отрицателен, то это говорит об обратной связи между признаками; если же он положителен – о прямой связи. Если он равен нулю, то связи между признаками нет, а если равен 1, то между признаками существует не корреляционная, а функциональная связь.

Перевод числового значения коэффициента корреляции в характеристики тесноты связи осуществляется в соответствии со шкалой Чэддока (табл.8.5).

Таблица 8.5

Шкала Чэддока [12]

Показания тесноты связи	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

 

Для расчета линейного коэффициента корреляции пользуются следующей формулой:

(8.15)

где – среднее значение произведения х на у;

и – среднее значение соответствующих признаков;

и – средние квадратические отклонения, найденные по признаку х и по признаку у.

, (8.16)

где r – линейные коэффициенты корреляции, а подстрочные знаки показывают, между какими признаками они исчисляются.

Другим важным показателем корреляционно-регрессионного анализа является коэффициент детерминации (r²), который представляет собой коэффициент корреляции, возведенный в квадрат. Он показывает, какая доля вариации результативного признака обеспечивается за счет вариации конкретного факторного признака. Здесь необходимо иметь в виду, что при использовании корреляционно-регрессионного анализа для практических целей необходимо, чтобы значение коэффициента детерминации было достаточно большим, обеспечивающим более 50% вариации результативного признака.

При разработке многофакторных моделей важным этапом является проверка существенности отличия от нуля коэффициента множественной корреляции. Коэффициент множественной корреляции показывает тесноту связи зависимой величины со всей совокупностью факторов-аргументов.

Проверка существенности отличия от нуля коэффициента множественной корреляции позволяет проверить всю регрессионную модель. Если окажется, что коэффициент множественной корреляции существенно от нуля не отличается, то можно сделать вывод о равенстве нулю всех коэффициентов регрессии и забраковать всю модель.

Простейшим методом проверки существенности коэффициента множественной корреляции является построение для него доверительных интервалов и выяснение вопроса о том, находится нуль внутри построенного интервала.

Доверительный интервал для коэффициента множественной корреляции R определяется по формуле

R - ts_R £ R £ R + ts_R, (8.17)

где s_R - средняя квадратическая ошибка R; t - критерий Стьюдента (обычно принимается t = 2).

Среднюю квадратическую ошибку коэффициента множественной корреляции находят по формуле

, (8.18)

где n - количество наблюдений в анализируемой выборке (группе); р - число факторных признаков в уравнении множественной регрессии.

Для проверки существенности коэффициента множественной корреляции также можно применять F-критерий, который определяется по формуле

, (8.19)

при р и n - p - 1 степенях свободы.

Применение уравнения множественной регрессии в практических целях в стандартизированном масштабе затруднительно, а поэтому его следует перевести в натуральный масштаб.

Коэффициенты множественной регрессии из стандартизированного в натуральный масштаб переводятся по формуле

(8.20)

где b_i – коэффициенты уравнения множественной регрессии в натуральном масштабе;

b_i – коэффициенты уравнения множественной регрессии в стандартизированном масштабе;

s_y – среднее квадратическое отклонение результативного признака;

s_xi – среднее квадратическое отклонение x_i – го факторного признака.

Кроме проверки значимости всей модели необходимо также проверить значимость каждого из коэффициентов регрессии. Проверка производится по t- критерию Стьюдента, при этом минимальная величина коэффициента регрессии должна соответствовать условию

. (8.21)

В формуле b_i – коэффициент уравнения множественной регрессии в натуральном масштабе при x_i – м факторном признаке; s_bi – средняя квадратическая ошибка b_i – го коэффициента, которая определяется по формуле

, (8.22)

где s_y – среднее квадратическое отклонение результативного признака у;

s_xy – среднее квадратическое отклонение x_i – го факторного признака;

R – коэффициент множественной корреляции уравнения регрессии;

R_i – коэффициент множественной корреляции x_i – го факторного признака с другими факторными признаками (без результативного фактора у);

n – число наблюдений.

Если коэффициент уравнения множественной регрессии в натуральном масштабе при каком-нибудь из факторных признаков окажется несущественным (обычно если t < 2), его следует из уравнения регрессии исключить и все расчеты начать сначала.

После окончательного уточнения коэффициентов уравнения множественной регрессии в натуральном масштабе находят значение свободного члена уравнения регрессии в натуральном масштабе по формуле

, (8.23)

где - средние значения признаков.

На основе данных корреляционного регрессионного анализа можно определить совместное и раздельное влияние факторных признаков на результативный признак.

Влияние вариации каждого факторного признака в отдельности на вариацию результативного признака определяет частный коэффициент детерминации, который показывает, какая доля общей вариации результативного признака у вызывается именно вариацией данного фактора x_i.

Частные коэффициенты детерминации рассчитывают по формуле

, (8.24)

где d_i – частный коэффициент детерминации факторного признака x_i;

b_i – коэффициент множественной регрессии в стандартизированном масштабе при факторном признаке x_i;

r_yxi – парный коэффициент корреляции между результативным признаком у и факторным признаком x_i.

Влияние отдельных факторных признаков на результативный признак в едином масштабе можно определить по частным коэффициентам эластичности, которые характеризуют, на сколько процентов (долю процента) изменится уровень результативного признака у при изменении x_i – го факторного признака на 1%.

Частный коэффициент эластичности определяется по формуле

, (8.25)

где Э_i – частный коэффициент эластичности;

b_i – коэффициент уравнения множественной регрессии в натуральном масштабе при x_i – м факторном признаке;

- среднее значение x_i – го факторного признака;

- среднее значение результативного признака.

Важным показателем, отражающим качество модели, является среднее квадратическое отклонение оценок результативного признака, рассчитанных по уравнению регрессии, от их фактических значений (стандартная ошибка оценок), которая определяется по формуле

, (8.26)

где - стандартная ошибка оценок;

n – число наблюдений в выборке;

р – число факторных признаков модели.

Данная величина является показателем абсолютного отклонения оценок. По нему можно определить коэффициент вариации модели по формуле

, (8.27)

где V – коэффициент вариации модели, %;

- среднее значение результативного признака.