Вынужденные колебания точки

 

Используя прежнюю механическую модель (§2) и предполагая, что на груз в произвольном положении действуют линейная восстанавливающая сила F и вынуждающая сила , получаем следующее дифференциальное уравнение движения

 

. (4.1)

 

Полагая , запишем (6.1) в стандартной форме

 

. (4.2)

 

Будем различать два случая: и .

1. . В этом случае решение уравнения (4.2) имеет вид

 

(4.3)

.

Второе слагаемое в правой части (4.3) представляет вынужденные колебания.

Амплитуда этих колебаний

 

. (4.4)

 

Их частота совпадает с частотой вынуждающей силы, - сдвиг фазы

 

 

2. . В этом случае возникает явление резонансов, характеризующее неограниченным возрастанием амплитуды колебаний с течением времени. Частное решение уравнения (4.1), соответствующее вынужденным колебаниям, имеет в этом случае вид

 

.

 

Амплитуда вынужденных колебаний (4.7)

возрастает пропорционально времени t. Сдвиг фазы .

В случае произвольной вынуждающей силы F (t) дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

 

. (4.8)

 

С помощью метода вариации произвольных постоянных можно представить общее решение уравнения (6.8), удовлетворяющее начальным условиям (4.2), в следующем виде:

 

. (4.9)

 

В частности, если сила Ф(t) действует на материальную точку, которая в начальный момент (t=t₀) находится в покое, то x₀=0, и (4.9) принимает вид

 

. (4.10)

 

Решение (4.10) представляет собой вынужденное движение, порожденное силой Ф(t) группы слагаемых

 

. (4.11)

 

В правой части (4.9) - это свободные колебания точки, вызванные возмущением ее состояния покоя, т.е. сообщением ей начального отклонения x₀ начальной скорости .

Если на точку действуют линейная восстанавливающая сила F=cx, сила вязкого сопротивления и произвольная возмущающая сила Ф(t), то дифференциальное уравнение вынужденного движения точки имеет вид

 

. (4.12)

 

Ограничимся случаем затухающих колебаний. С помощью метода вариации произвольных постоянных можно представить решение уравнения (4.12), удовлетворяющее начальным условиям (4.2) в виде

 

. (4.13)

 

В частности, если сила Ф(t) действует на материальную точку, которая в начальный момент находится в покое, то и (4.13) принимает вид

 

. (4.14)

 

Формула (4.14) представляет собой вынужденное движение точки, порожденное силой.

Группа слагаемых представляет собой свободные затухающие колебания точки, вызванные возмущением ее состояния покоя, т.е. сообщением ей начального отклонения x₀ и начальной скорости .

 

Вопросы для самоконтроля

1. Запишите дифференциальное уравнение движения точки под действием восстанавливающей и возмущающей силы.

2. Какой вид имеет частное решение этого уравнения при и при ? Постройте график этого решения и сравните его с графиком вынуждающей силы.

3. Зависят ли чисто вынужденные колебания от начальных условий?

4. Как выражается амплитуда чисто вынужденных колебаний при отсутствии сил сопротивления? Постройте график изменения этой амплитуды в зависимости от отношения .

5. Запишите дифференциальное уравнение движения точки под действием восстанавливающей, возмущающей сил и силы сопротивления, пропорциональной первой степени скорости?

6. В каком виде ищется частное решение этого уравнения? Как выражается амплитуда вынужденных колебаний в этом случае? Начертите график изменения амплитуды в зависимости от отношения при различных значениях и сравните его с соответствующим графиком при .

7. Запишите формулу, определяющую сдвиг фазы вынужденных колебаний. Постройте график изменения сдвига фазы в зависимости от отношения при различных значениях и сравните его с соответствующим графиком при .

8. В чем заключается явление резонанса? Как влияют силы сопротивления на это явление?

9. Выведите формулы (4.9) и (4.13) с помощью метода вариации произвольных постоянных.

10. Рассмотрите случай гармонической возмущающей силы . найдите движение точки с помощью формул (4.9) и (4.13).

 

Пример

 

При вертикальных колебаниях станины вибрографа магнит совершает вертикальные колебания. Абсолютное движение магнита складывается из переносного движения (по отношению к станине). Будем рассматривать магнит как материальную точку. Поместим начало координат О в положении покоя магнита, соответствующем y=0. Отметим еще четыре точки: верхний конец А и нижний конец О₁ недеформированной пружины при y=0; положение этих точек в текущий момент времени обозначим буквами А и М соответственно.

В текущем положении на магнит действуют: сила тяжести Р и упругая реакция пружины F=c(ƒ+x+y). Дифференциальное уравнение абсолютного движения магнита примет вид .

 

Вводя обозначение и принимая во внимание, что P=cƒ, получаем

 

. (4.16)

 

Дифференциальное уравнение (4.16) имеет вид (4.2). Его частное решение при

 

.

 

Описывает вынужденные колебания магнита относительно неподвижных осей (абсолютное движение). Движение магнита относительно станины вибрографа описывается уравнением

 

. (4.17)

 

Из (4.17) видно, что частота и фаза колебаний записываются точно, а амплитуда колебаний - с искажением. Так как

 

 

то при искажение амплитуды становится весьма малым. Распоряжаясь параметрами С и m, можно поэтому добиться выполнения условия и, следовательно, записать все характеристики колебания с достаточной точностью.

 

Упражнения

1. Решите задачи: № 32.78; 32.84; 32.80; 32.86 из (7).

2. Найти движение материальной точки, пренебрегая силами сопротивления, при нулевых начальных условиях , если вынуждающая сила Ф(t) имеет синусоидальный вид.

 

 

Редактор Н.Е. Гладких

Темплан 2007г., поз.156.

Подписано в печать 22.05.07. Формат 60х84 1/16.

Ризограф. Бумага писчая. Уч.-изд.л.1,2.

Тираж 50 экз. Заказ 412.

Редакционно-издательский центр РГСУ.

344022, Ростов н/Д, ул.Социалистическая, 162.