Понятие вероятности

X. Статистические распределения

Совокупность огромного числа молекул (в одном моле содержится N_A = 6 ×10²³ молекул) является системой, качественно отличной от систем из небольшого числа частиц. В ней проявляются закономерности, не свойственные простой механической системе. Движение отдельной молекулы, ее траектория, последовательное изменение состояния становятся несущественными и не влияют на характеристики системы как целого. Так, из опыта известно, что свойства газа в состоянии равновесия не зависят от предыстории (от того, каким образом был заполнен сосуд) и не изменяются с течением времени. Поведение системы из большого числа частиц подчиняется статистическим закономерностям. Изучение их основано на законах теории вероятности. При этом целью численного исследования и его составной частью является получение средних характеристик системы.

 

Понятие вероятности

 

Рассмотрим основные представления теории вероятности. Понятие вероятности применяется не только в статистической физике. Им часто пользуются и в повседневной жизни. Говорят: «это невероятно» или «такой результат весьма вероятен» и т. д. Чтобы вникнуть в это понятие, необходимо рассмотреть большое число каких–либо однотипных событий. Пусть, например, бросается игральная кость – кубик с метками 1, 2, …, 6 на гранях. Под событием в этом случае понимается выпадение той или иной метки. Вопрос: может ли случиться, что одна из меток выпадет десять раз подряд?

Ответ совершенно очевидный: событие является возможным, но маловероятным. Основан он на практических наблюдениях. Из повседневного опыта известно, что выпадение одной метки два раза подряд происходит сравнительно часто, три раза подряд – значительно реже, четыре раза – еще реже и т. д. Десятикратное выпадение одной метки представляется в высшей степени редкой случайностью. Тем не менее не существует никакого основания считать подобное событие совершенно исключенным. Принципиально оно вполне возможно, так как в нем нет ничего качественно отличного от двух- и трехкратного повторения одной метки.

Другой вопрос: если опыт повторять многократно, то будет ли каждая метка выпадать одинаково часто? Положительный ответ кажется очевидным. На какую из граней упадет кубик при однократном метании, заранее сказать нельзя. Но если опыт повторять многократно, то все метки будут появляться одинаково часто. Частота выпадения какой-либо определенной метки будет составлять 1/6 всех опытов. Это не означает, что при 60 бросках единица выпадет ровно 10 раз; возможно, что она выпадет 9 или 11 раз; реже – 8 или 12 раз и т. д. Если увеличивать число опытов, то относительное отклонение частоты выпадения одной метки от 1/6 будет уменьшаться. Чем больше произведено однотипных опытов, тем увереннее становятся предсказания, основанные на соображениях вероятности. Можно привести другие подобные примеры.

Итак, вероятность данного события определяется относительной частотой его появления или, другими словами, как отношение числа благоприятных случаев к полному числу опытов (измерений). Вероятностные суждения являются тем более достоверными, чем к большему числу событий они относятся.

Пусть некоторая (произвольная) физическая система находится в различных состояниях, образующих дискретный ряд, и L – взаимно однозначная функция состояния, например энергия, объем системы и пр. Предполагается, что в течение весьма длительного времени система в силу происходящих в ней процессов проходит через эту последовательность состояний. В некоторых состояниях система находится подолгу, попадает в них часто; в других она проводит лишь незначительное время. Если через промежуток времени D t проводить измерения величины L, то эти измерения будут давать одни значения L чаще, другие реже. Пусть в некотором состоянии с номером i система проводит время t_i, составляющее часть от полного времени наблюдения T. Тогда в результате N_i = t_i / D t измерений будет найдено, что величина L имеет значение L_i. Полное число измерений равно N = T / D t.

Вероятностью i -го состояния системы или вероятностью того, что величина L имеет значение L_i, называют предел отношения числа измерений, дающих значение L = L_i, к полному числу измерений, когда последнее неограниченно возрастает.

Если через w_i обозначить вероятность i -го состояния, то

 

. (75.1)

 

При замене N_i и N в определении (75.1) их выражениями через соответствующие времена получается

 

. (75.2)

 

Иными словами, вероятность i -го состояния определяется как предел отношения времени t_i, в течение которого система находится в этом состоянии, к полному времени наблюдения T при неограниченном возрастании последнего. Следует отметить, что если – вероятность того, что величина L имеет значение L_i, то

 

. (75.3)

 

Существование предела отношения t_i / T обеспечено, если в течение всего времени наблюдения система находится в неизменных внешних условиях. К примеру, в случае неограниченно расширяющегося газа система ни в одном из состояний не находится конечный промежуток времени и предел отношения не существует вообще.

Напротив, если газ заключен в конечном объеме V и требуется найти вероятность того, что некоторая произвольно выбранная молекула окажется в объеме v, составляющем часть всего объема, то эту вероятность следует определить как предел отношения t_v / T, где t_v – время, в течение которого молекула находится в объеме v. При этом если время наблюдения T достаточно велико, то молекула побывает во всех частях объема V сосуда, и из равноправности всех частей сосуда следует, что время пребывания ее в данном объеме v пропорционально величине этого объема. Поэтому

w_v = v / V.

 

Выше вероятность определяется как предел отношения. Это означает, что использование вероятностных представлений предполагает, что число измерений (или время наблюдения) весьма велико.

На практике часто приходится встречаться с системами, состояния которых изменяются непрерывным образом. При этом величины, характеризующие состояние системы, пробегают непрерывный ряд значений. В этом случае определение (75.3) теряет смысл, так как в состоянии, в котором величина L имеет значение, точно равное L_i, система проводит бесконечно малое (точнее равное нулю) время. Поэтому, когда приходится иметь дело с непрерывно изменяющимися величинами, необходимо говорить не о значении L_i, а о некотором интервале значений этой величины.

Вероятность того, что величина L имеет значение, лежащее в интервале между L и L + D L, определяется как

 

,

 

где D t_L – время, в течение которого система находится в состояниях, соответствующих значениям L, лежащим между L и L + D L. Для бесконечно узкого интервала значений функции

 

. (75.4)

 

Очевидно, что время dt_L, а следовательно, и вероятность dw_L при прочих равных условиях пропорциональны величине интервала dL. Удобно поэтому dw_L представить в виде

dw_L = r(L) dL, (75.5)

 

где r(L) – вероятность того, что значение величины L лежит в некотором единичном интервале. Функцию r(L) называют плотностью вероятности.