Решение. Из известного подхода к решению обратной задачи теории погрешности в рамках принципа равных абсолютных погрешностей

Из известного подхода к решению обратной задачи теории погрешности в рамках принципа равных абсолютных погрешностей, погрешность (и количество верных знаков у приближенных значений аргументов) определяется из соотношения:

i = 1, 2, …, n или ,

 

на основе e - требуемого значения погрешности результата вычисления функции:

i = 1, 2, …, n или ,

 

поэтому из условия задачи необходимо выяснить каково заданное значение погрешности e - результата вычисления функции:

при условии, что этот результат должен быть вычислен с четырьмя верными знаками.

Заметим, что старший десятичный разряд m результата вычисления функции

при любом количестве верных десятичных знаков у приближённых аргументов равен -1, т.е. m = -1. Действительно, даже при округлении значений приближённых аргументов только до одного верного десятичного знака:

функция

будет иметь значение y» 0.672613, а при наличии у приближенных аргументов четырех верных десятичных знаков (см. задание №6) y» 0.539.

Следовательно, из соотношения:

и из требования вычислить функцию:

с четырьмя верными знаками (n = 4) следует, что погрешность e, с которой нужно вычислить значение данной функции определяется неравенством:

Далее решаем обратную задачу теории погрешностей в рамках предположения о равенстве абсолютных погрешностей аргументов, на основе соотношения:

.

При этом для сокращения объёма вычислений значения величин:

 

 

целесообразно взять из Задания №6:

 

Поэтому, находим:

Следовательно, заключаем, что значения погрешностей приближенных аргументов должны удовлетворять неравенству:

Далее зная, что погрешности приближённых аргументов должны удовлетворять неравенству:

 

 

необходимо определить какое количество верных десятичных знаков следует сохранить при использовании этих аргументов, т.е. чисел:

Поскольку в данном случае наши аргументы имеют значения:

то при их десятичной записи по формуле:

x_i = a_m 10 ^m + a_{m- 1}10 ^{m- 1} + a_{m- 2}10 ^{m- 2} + a_{m- 3}10 ^{m- 3} + … + a_{m- n +1}10 ^{m- n +1} + …;

значение старшего десятичного разряда m = -1, следовательно, в данном случае при наличии у аргументов n верных десятичных знаков, их абсолютные погрешности определяются соотношением:

 

 

.

из которого следует, что n ≤ 5, т.е. каждый из приближённых аргументов:

 

следует взять (не менее чем) с пятью верными знаками (n = 5), потому что в этом случае абсолютная погрешность аргументов (в узком смысле) не будет превышать величины :

 

 

 

Для того чтобы вычисленное значение функции:

имело четыре верных знака в узком смысле, приближённые значения аргументов:

 

 

следует округлить до пяти верных десятичных знаков.