Оценка погрешностей при прямых измерениях

Для повышения точности измерений (если, конечно, этом есть необходимость) следует по возможности устранить математические погрешности. Это можно сделать различными способами. Если известна природа такой ошибки, и может быть определена ее величина, достаточно ввести соответствующую поправку. Это возможно, например, для исключения влияния на результат измерения таких факторов, как температура и давление воздуха, или факторов, связанных с известным недостатком измерительного инструмента (неравноплечностые рычажных весов обитым нулем прибора и т.п.). Разумеется, что вносить такого рода поправки есть смысл только в том случае, когда их величина соизмерима с величиной других ошибок, сопровождающих данные измерения.

Можно также исключить некоторые виды систематических погрешностей, используя спецальные методы измерений. Так, влияние уже упомянутой неравноплечности весов можно устранить, взвесив исследуемое тело дважды - сначала на одной чаше весов, а затем на другой. Есть и другие способы исключения системати­ческих погрешностей. Однако, как было отмечено выше, всегда остается ошибка; связанная с погрешностью используемого при­бора, а также случайные погрешности, которые заранее учесть нельзя.

В том случае, если погрешность прибора заведомо больше величины случайных погрешностей, присущих данному методу при данных условиях эксперимента, достаточно выполнить измерение один раз (например, при измерении обычной масштабной линей­кой длины, точно изготовленной детали). Тогда абсолютная пог­решность измерения будет равна погрешности прибора. Если, наоборот, определяющей является случайная погрешность, надо уменьшить ее величину с помощью многократных измерений. Рас­смотрим методику оценки случайной погрешности в этом случае.

Предположим, что мы произвели n прямых измерений величины Х. Обозначим через Х₁, Х₂,... Х_n резуль­таты отдельных измерений, которые вследствие наличия случай­ных погрешностей будут в общем случае неодинаковыми. В теории вероятностей доказывается, что истинное значение измеряемой величины (при отсутствии систематических погрешностей) равно ее среднему значению, получаемому при бесконечно большом числе измерений, т.е.

(1)

Поэтому наиболее близким Х истинному будет для данной серии измерений среднее арифметическое значение, а именно:

(2)

Отклонения измеренных значении Х_n от X_ср носят слу­чайный характер и называются абсолютными ошибками отдельных намерений:

(3)

В элементарной теории ошибок, разработанной Гауссом мерой случайной погрешности отдельного измерения является так называемая средняя квадратичная погрешность, вычисляем по формуле

(4)

При большом числе измерений величина S_n стремится к некото­рому пределу σ, т.е.

Строго говоря, именно этот предел называется средней квадра­тичной погрешностью, а квадрат этой величины - дисперсией измерений.

Однако средняя квадратичная погрешность отдельного из­мерения Sn полезна лишь для оценки точности применяемого способа измерений. Нас же, главным образом, интересует погреш­ность результата всей серии измерений. Для этого надо найти среднюю квадратичную погрешность среднего арифметического, характеризующую отклонение Х_ср от истинного значения искомой величины. Из закона сложения ошибок вытекает, что сред­няя квадратичная погрешность среднего арифметического равна

(5)

Отсюда следует, что чем больше проделано измерений одной и той же величины, тем меньше случайная погрешность результата. Это вполне понятно, т.к. согласно (1) и (2), чем больше число опытов, тем ближе Х_ср к Х_ист

Используя соотношения (4) и (5), можно записать сле­дующее окончательное выражение для средней квадратичной пог­решности результата серии измерений

(6)

Это не означает, однако, что истинное значение измеря­емой величины обязательно будет заключено в интервале от X_ср - ΔX_кв до Х_ср + ΔX_кв. Оказывается, что паже при очень большом числе измерений вероятность того, что истинное значение попадет в указанный интервал, не превышает 0,7. Другими словами, надежность полученного резуль­тата в данном случае составляет около 70 %. При малом числе измерений (n < 10) она будет еде меньше.

Вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадет в заданный интервал, называется доверитель­ной вероятностью, или коэффициентом доверия Р, а соответствующий интервал, определяемый величиной абсолютной погреш­ности – доверительным интервалом. Достоверность результата при данном количестве измерений можно увеличить, уменьшая его точность, т.е. расширяя доверительный интервал.

Обычно случайную погрешность рассчитывают по формуле:

(7)

где α_n,p — коэффициент Стьюдента, зависящий от числа из­мерений П. и выбранного значения доверительной вероятнос­ти P. Значения α_n,p для ряда случаев приведены в таблице I.

Таблица I.

									…
0,5	0,82	0,77	0,74	0,73	0,72	0,71	0,71	0,70		0,68
0,7	1,3	1,3	1,2	1,2	1,1	1,1	1,1	1,1		1,0
0,95	4,3	3,2	2,8	2,6	2,4	2,4	2,3	2,3		2,0

 

Как видно из таблиц, увеличение числа опытов позво­ляет при заданной доверительной вероятности существенно уменьшить случайную погрешность. Здесь следует учесть, что помимо коэффициента α_n,p с ростом n уменьшается и значение Х_кв.

Таким образом, для характеристики величины случайной погрешности в принципе необходимо задать два числа: саму погрешность X_кв и доверительную вероятность P, позво­ляющую оценить степень надежности полученного результата. Необходимая степень надежности определяется спецификой производимых измерений. Доверительная вероятность должна быть, например, очень высокой при контроле размеров дета­лей самолетов и достаточно низкой при аналогичном контроле деталей ручной тележки. В условиях учебной лаборатории достаточно брать P = 0,7.

Для окончательной оценки величины абсолютной погреш­ности ΔХ следует теперь сравнить полученную случайную погрешность с погрешностями других видов. Если путем много­кратных измерений удалось сделать случайную ошибку заметно меньше приборной (при незначительных систематических ошиб­ках), то в качестве ΔХ можно взять погрешность использо­вавшегося прибора. В противном случае в качестве ΔX берут значение X_сл.

Таким образом, для оценки абсолютной погрешности при прямых измерениях следует:

1) произвести серию измерений искомой величины и вы­числить среднее значение по формуле (2);

2) вычислить абсолютные ошибки отдельных опытов сог­ласно (3);

3) рассчитать ΔХ_кв по формуле (б);

4) определить случайную погрешность, пользуясь форму­лой (7) и таблицей 1 (или формулой Стъюдента);

5) сравнить ΔХ_ср погрешность прибора, выбирая в качестве абсолютной погрешности наибольшую из этих погрешностей;

6) записать результат измерений в виде X = Х_ср ± ΔХ (8)

Заметим, что если величины случайной и приборной пог­решностей близки друг к другу, то обе они влияют на точность результата, примерно в одинаковой степени. Поэтов иногда в мчестве максимального значения абсолютной ошибки берут сумму указанных погрешностей.

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что величина абсолютной погрешности сама по себе дает мало ин­формации о действительной точности измерения, если не сопос­тавлять ее со значением измеряемой величины. Действительно, пусть погрешность, полученная при измерении линейных раз­меров, равна 0,5 см. или при этом идет речь о длине, на­пример, спичечной коробки, то точность будет очень плохой, а если с такой же погрешностью измерена длина заводского корена, то точность измерения следует считать даже излиш­не высокой.

Поэтому помимо абсолютной погрешности часто исполь­зуется так называемая относительная погрешность измерения Р. Она равна отношению абсолютной погрешности измерения к среднему значению измеряемой величины:

(9)

Относительную погрешность иногда выражают в процентах. Тог­да:

Особенно удобно использовать относительную погрешность при сравнении точности измерений разнородных физических величин.