Погрешности элементарных функций

Таблица 4

№	Вид функции z = z(a)	Абсолютная погрешность Dz	Относительная погрешность
	ca, c = const	cDa

Наиболее часто встречаются следующие случаи определения погрешностей:

1. Погрешности в суммах и разностях. Если а₁ и а₂ измерены с погрешностями Δа₁ и Δа₂ и измеренные значения используются для вычисления суммы или разности А = а₁ ± а₂, то суммируются абсолютные погрешности (без учета знака):

ΔА = Δа₁ + Δа₂.

2. Погрешности в произведениях и частных. Если измеренные значения а₁ и а₂ используются для вычисления А = а₁ × а₂ или А = а₁ / а₂, то суммируются относительные погрешности:

ε_А = ε_а1 + ε_а2, где ε = Δ а / а.

3. Измеренная величина умножается на точное число. Если а используется для вычисления произведения А = В × а, в котором В не имеет погрешности, то А = | В | × ε _а.

4. Возведение в степень. Если а используется для вычисления степени А = аⁿ, то А = n × ε _а.

5. Погрешности в произвольной функции одной переменной. Если а используется для вычисления функции А (а), то:

.

Пример 1. Производится косвенное измерение электрической мощности, рассеиваемой на резисторе сопротивлением R при протекании по нему тока I. Так как P = I ² × R, то, применяя правила 2 и 4, получим ε_P = ε_R + 2ε_I.

Пример 2. Измерением найдено значение угла α = (20±3)°. Необходимо найти cosα. Наилучшая оценка для cos20° = 0,94. Погрешности Δα = 3° = 0,05 рад. Тогда по правилу 5 имеем ε_cosα = (sin20°) × 0,05 = 0,34 × 0,05 = 0,02. Окончательно cosα = 0,94 ± 0,02.