Собственные значения и собственные векторы матрицы

 

Определение. Рассмотрим квадратную матрицу . Пусть для некоторого ненулевого вектора и числа l выполняется равенство

АХ = λ Х. (8)

Тогда вектор называется собственным вектором матрицы А, а числоназывается собственным значением этой матрицы.

Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением.

Определение. Корнем многочлена называется значение переменной, обращающее этот многочлен в нуль. Корнем матричного многочлена будет матрица, обращающая этот многочлен в нулевую матрицу.

 

Теорема 1. Собственные значения матрицы А являются корнями характеристического многочлена .

Верно и обратное: каждый корень характеристического многочлена матрицы А будет её собственным значением.

Теорема 2. Если – собственные значения матрицы А, то:

1)

2)

Эти равенства можно использовать в качестве проверки вычисленных собственных значений.

Теорема 3. (Теорема Гамильтона – Кэли).

Любая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена, т. е. , где под нулём понимается нулевая матрица, а под свободным членом характеристического многочлена – этот свободный член, умноженный на единичную матрицу.

 

Пример 1. Найти собственные значения матрицы и проверить правильность решения по теореме 3. Проиллюстрировать теорему Гамильтона – Кэли.

Решение. Чтобы найти собственные значения, приравняем к нулю характеристический многочлен:

=0.

Корни квадратного уравнения: .

Сумма корней ; произведение корней .

Подставим матрицу А в характеристический многочлен:

.

В результате получили нулевую матрицу. Это и означает, что матрица является корнем своего характеристического многочлена.

 

Пример 2. Показать, что матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Решение. ;

(.

Найдём характеристический многочлен матрицы:

.

Вычислим , для этого нужно найти

, и .

Тогда

.