Общие сведения. Многие процессы в природе (в том числе и экономике) протекают во времени

Многие процессы в природе (в том числе и экономике) протекают во времени. Такие процессы называются динамическими и для их описания обычно используются дифференциальные уравнения (или их системы).

Дифференциальными уравнениями называют уравнения вида:

 

y’=F(x,y). (6.27)

 

Если в левой части уравнения находится первая производная от функции, то уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка, если вторая производная, то – второго порядка и т.д.

С точки зрения решения все дифференциальные уравнения можно разделить на две группы. К первой группе относятся такие уравнения, для которых можно получить аналитическое решение, т.е. уравнение вида:

 

y = f(x). (6.28)

 

Методы решения дифференциальных уравнений описаны в соответствующей литературе. Если исследователю повезло и дифференциальное уравнение решаемо, то работать с объектом можно, используя формулу (6.28).

К сожалению, подавляющая часть встречающихся на практике уравнений не имеют аналитического решения, и для их решения приходится использовать численные методы.

В этом случае решение сводится к получению зависимости (6.28) в виде таблицы пар значений x - y.

В общем случае дифференциальное уравнение может иметь множество решений. Для нахождения единственного решения используются дополнительные условия.

На практике чаще всего встречается так называемая задача Коши. В ней условие единственности решение определяется значением функции в начальной точке:

 

y(x₀)=y₀ (6.29)

 

Основным недостатком численных методов является необходимость выбора шага интегрирования. Если он подобран неудачно, то получающееся решение чаще всего не имеет ничего общего с реальным решением. Кроме того, при программировании этих методов дополнительной проблемой является неустойчивость решения. Это обычно выражается в том, что программа либо аварийно завершается ввиду переполнения, либо работает неприемлемо долго.