Проницаемостей при вытеснении нефти водой и газомs - насыщенность вытесняющей фазы; (s) - для вытесняющей жидкости; (s) - для вытесняемой жидкости; пунктир относится к случаю, когда вытесняющей фазой является газ
Уравнение (6.2.9) квазилиненйное дифференциальное первого порядка в частных производных, решаемое обычно методом характеристик [3]. Выпишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую уравнению (6.29) (6.31) Первые интегралы данной системы записываются в виде: , (6.32) Отсюда следует, что при t =0 расстояние х=х (,0)= С 2 – начальное распределение насыщенности. Тогда решением уравнения (6.29) будет (6.33) Уравнение (6.33) есть уравнение распределения насыщенности вдоль пласта. Уравнение (6.33) не применимо для плоскорадиального движения (рис.6.8), хотя функции (σ;) и остаются теми же, но в которых необходимо для строгого решения использовать относительные фазовые проницаемости K 1*() и K 2*() по экспериментальным данным для плоскорадиального вытеснения (см. рис. 6.8). Такие эксперименты к сожалению отсутствуют. Однако в рамках теории Бакли-Леверетта уравнение плоскорадиального вытеснения нетрудно получить из уравнения И.А.Чарного (IХ.4.1[5]) для трубки тока переменного сечения S (х)=2 πrh. В конечном счете получаем уравнение (6.33) '
где r 0(π;, 0) – начальный контур нефтеносности, q = соnst – удельный расход. Из сравнения (6.33) и (6.33) ' видим, что для плоскорадиального вытеснения насыщенность распределяется по квадратичному закону. В работе [5] приведены следующие эмпирические приближенные формулы, полученные Чень Чжун-сяном по осредненным экспериментальным данным:для воды и нефти (s — водонасыщенность) (6.34) для газа и воды (s — газонасыщенность) (6.35) Имеются и другие эмпирические зависимости. Для газированной жидкости С. А. Ахмедов принимает эти зависимости по Викофу-Ботсету [24]: (6.36) где s — насыщенность жидкостью. В этой работе утверждается, что для газированной жидкости насыщенность жидкой фазой на контуре пласта при Р к= const составляет s к » 0,99, которая вдоль пласта (r<R к)практически не изменяется и только вблизи забоя она резко падает. При фильтрации же газоконденсатных смесей s к » 0,4. По мере приближения потока к скважине насыщенность жидкостью увеличивается. При этом содержание тяжелых компонентов (С 3 Р 8 +С 7+выс) уменьшается, а легких (N 2, CO 2, СН 4, С 2 Н 6) — увеличивается. Особенно резкое изменение в составе смеси проявляется в области низких давлений. Таким образом, состав исходной пластовой смеси, фазовые соотношения и вид кривых фазовых проницаемостей являются основными характеристиками стационарной фильтрации. В.В. Мустафаев [25] приводит другие зависимости для фильтрации газированной жидкости как функции насыщенности жидкостью s (6.37) В работе А.К. Курбанова и И.Ф. Куранова [26] предлагаются следующие эмпирические зависимости: (6.38) (6.39) где — для несмачиваемой жидкости; — для смачиваемой жидкости; s — насыщенность вытесняющей жидкостью (водой). Используя зависимости (6.34), (6.35) и (6.37) из уравнения (6.28) получаем: для вытеснения нефти водой (6.40) для вытеснения газа водой (6.41) для фильтрации газированной жидкости доля газа в потоке при пластовых условиях (6.42) Функцию f (s) можно выразить также через экспоненциальнуюзависимость [27] , (6.43) где константы а и b можно определить при совместном решении двух уравнений вида (6.43), составленных для двух значений водонасыщенности s. Например, для s =0,3 и s =0,7 имеем: (6.44) Значения определяются по соответствующим формулам (6.34)-(6.39). Подставляя (6.43) в (6.23) получаем (6.45) Заметим, формулы (6.23) и (6.45) выражают долю вытесняющей жидкости (водонефтяной фактор) из суммарного дебита скважины, приведеного к пластовым условиям, т. е. (6.46) Если же выразить через функцию Бакли-Леверетта долю добываемой нефти как отношение (6.47) тогда формула (6.45) запишется в виде (6.48) При использовании формулы (6.24) производные относительных фазовых проницаемостей определяются для каждого фиксированного значения насыщенности s по углу наклона касательной в данной точке к кривой относительной фазовой проницаемости. Этот метод требует весьма аккуратного и точного построения и отсчета, что весьма затруднительно. Возможен другой метод определения искомых – опять же метод касательной при использовании графической зависимости функции f (s). Недостаток остается прежним. Лучше использовать полуэмпирические зависимости (6.45) и (6.48). Взяв их производные по насыщенности, с учетом (6.43) получаем: , (6.49) . (6.50) Определение средней насыщенности водой за фронтом и s ф на фронте вытеснения с учетом погребенной воды может быть произведено также по формулам [28, 29]. (6.51) (6.52) Скорость движения воды при линейном вытесненииесть (6.53) Скорость движения воды при плоско-радиальном вытеснении определяется формулой (6.54) Время движения контура от начального положения до скважины определяется интегралом (6.55) 6.7.3. Вытеснение одной жидкости другой с учетом капиллярного давления и массовых сил. Рассмотрим двухфазную фильтрацию нефти и воды с учетом капиллярных и массовых сил в трубке тока переменного сечения (см. рис. 1.5). (6.56) (6.57) Используя (6.56) и (6.57) и вводя капиллярный скачок Р к(s)= Р в– Р н, находим долю воды от суммарного расхода воды и нефти (q ж= q в+ q н): (6.58) где α; – угол наклона пласта к горизонту; F (S) – площадь фильтрации; s – водонасыщенность; S – координата. Заменяя в уравнении (6.58) , (6.59) получаем обобщенную функцию Бакли-Леверетта (6.60) Здесь – производная экспериментальной функции насыщенности Леверетта [5]. Для линейного вытеснения принимаются S=x и F (S)= Вh, для плоскорадиального – S=r и F (S)=2 πrh (В – ширина галереи, h – толщина пласта); при r=r c получаем постоянство функции (6.60). Производная насыщенности dσ/dx может быть определена графически по зависимости σ;= f (S), построенной по известному уравнению Бакли-Леверетта (6.33), определяется уравнением (6.33) '. Если пренебречь капиллярными силами [ ] и ввести функцию (6.28) тогда из (6.60) имеем: (6.61) Распределения насыщенности вдоль пласта при S=х, х (σ;,0)=0 и F (S)= Bh, согласно уравнениям (6.33) и (6.61), для линейного вытеснения и при х=r и F (S)=2 πrh, согласно уравнениям (6.33)' и (6.61), запишутся соответственно: и (6.62) При σ=σ;Ф получим расстояние от контура питания до фронта вытеснения. Производная функции (6.61) по s есть (6.63) где (6.64) Функции и могут быть определены по формулам (6.28) и (6.3 0) или (6.40) и (6.49). Производные относительных фазовых проницаемостей, взятые по формулам (6.34), есть: (6.65) (6.66) Анализируя формулу (6.61), можно сделать вывод, что существенное влияние угол наклона a окажет в случае малой вязкости нефти, высокой проницаемости и небольших скоростей фильтрации. При этом будет выполняться условие . Поскольку капиллярные силы действуют в противоположном направлении силам тяжести, формула (6.60), то они до некоторой степени будут взаимно поглощаться. Для горизонтального пласта капиллярное давление Р к(s)будет снижать значение функции . Следовательно, будет выполняться условие . Экспериментальная функция насыщенности Леверетта определяется формулой [5] (6.67) где a –коэффициент межфазного натяжения, кгс/см; т –коэффициент пористости, д. ед.; K – коэффициент абсолютной проницаемости, см2; Q – статический краевой угол смачивания; J (s) – безразмерная функция водонасыщенности s, определяемая по графическим зависимостям (рис. 6.9). Кривая 1 относится к впитыванию жидкости в породу, кривая 2 – к дренированию жидкости под действием силы тяжести. Вид кривых указывает на гистерезисный характер капиллярных явлений в пористых средах. Взаимное торможение жидкостей, согласно которому относительные фазовые проницаемости не равны соответствующим насыщенностям, обусловлено, как считает И.А. Чарный [5], в первую очередь капиллярным эффектом. В расчетах часто капиллярным скачкам пренебрегают, принимая Р к (s)=0. В этом случае капиллярность учитывается косвенно самим видом опытных кривых и . Рис. 6.9. Графические зависимости функции Леверетта J (σ;) (Кр.1 – относится к впитыванию; Кр.2 – относится к дренированию) 6.7.4. Расчет фронтальной и средней насыщенности в зоне вытеснения одной жидкости другой в соответствии с линейной моделью Бакли-Леверетта. Как известно, согласно теории Бакли-Леверетта для расчета насыщенности вытесняющей жидкости на фронте вытеснения s ф и средней насыщенности ее s ср, в зоне вытеснения необходимо знать значения относительных фазовых проницаемостей, которые обычно определяются экспериментальным путем на кернах, функцию Бакли-Леверетта f (s) и ее производную по насыщенности . Тогда расчет можно произвести по формулам [5]: (6.68) В разделе 6.7.2 приведены эмпирические зависимости для относительных фазовых проницаемостей при вытеснении нефти водой и газа водой (Чен Чжун-Сян), при вытеснении нефти водой (А.К. Курбанов и И.Ф. Куранов), при фильтрации газированной жидкости (нефть – газ) (С.А. Ахметов, В.В. Мустафаев). В работе Douglas J. and others (Trans. FJME, V. 213, 1958) приводятся другие эмпирические зависимости для вытеснения нефти водой: (6.69) где s – насыщенность нефтью. В известных монографиях указывается способ определения s ф и s ср методом касательной к построенной функции Бакли-Леверетта f (s) в зависимости от насыщенности s для фиксированного значения m 0 (рис. 6.10).
Рис. 6.10. К определению фронтальной s ф и средней s ср
|