Стационарная фильтрация упругой капельной жидкости в недеформируемой пористой среде

Установим зависимость объемного веса от давления, т. е. g=g (P). Очевидно, для сжимаемой жидкости при увеличении давления на dP объемный вес повышается на dg. В дифференциальной форме это запишется в виде

(4.9)

где К ₀=10¸20 тыс. атм. — модуль упругости сжатия жидкости. К ₀ является переменной величиной и зависит от давления.

Зависимость g=g (P) в небольшом диапазоне изменения давления можно аппроксимировать как линейную, параболическую и экспоненциальную.

Полагая К ₀= сonst и интегрируя (4.9), получаем:

;

,

где g ₀ и g соответствуют начальному Р ₀ и текущему Р давлениям.

Исключая постоянную, получаем

или

. (4.10)

Здесь — коэффициент сжимаемости жидкости.

Таким образом, установили, что объемный вес жидкости в зависимости от давления изменяется по экспоненциальному закону.

Разложим функцию (4.10) в ряд Маклорена:

.

Удерживая первые два члена разложения, находим

. (4.11)

Перепишем (4.11) в другой форме:

. (4.12)

Как видим, в приближенной постановке зависимость g=g (P) удовлетворяет закону Гука. Пользуясь формулами (4.10) и (4.11), найдем точное и приближенное значение функции Лейбензона:

или

; (4.13)

. (4.14)

Обычно для капельной жидкости величина . Тогда можно приближенно записать

. (4.15)

Нетрудно заметить, что формула (4.15) может быть получена также интегрированием (4.6) при ( соответствует начальному давлению P ₀).

Отсюда следует вывод, что если жидкость малосжимаема, т. е. g»g ₀= const, и сжимаемостью можно пренебречь, то при обычных значениях К ₀ и (P – P ₀) стационарное движение сжимаемой жидкости можно рассчитывать по формулам для несжимаемой жидкости объемного веса g ₀. При этом погрешность в определении весового расхода будет определяться третьим членом в разложении Маклорена.