Одномерный кристаллЭлектронная система, в которой свободный электрон может распространяться только в одном направлении, и ограничен в своем распространении в двух других, представляет из себя одномерный кристалл.
рис.5. Пример конструкции одномерного кристалла, когда движение электронов ограничено потенциальными барьерами в направлениях y и z. Уравнение Шредингера в этом случае записывается в виде:
где потенциал в x и y – измерениях иллюстрируется рис.5. Предполагая, что свободное распространение электрона в x-направлении не зависит от двух других координат, возможное решение задачи записывается в виде:
В общем случае переменные в уравнении не разделяются в случае конечной высоты потенциальных барьеров и уравнение Шредингера
является более сложным для решения, чем в случае единственной квантовой ямы. Если допустить, что барьеры не проницаемы для электрона, то имеется решение уравнения в виде стоячих волн:
когда φ;=0 на границах потенциальной ямы и
Подставляя эти выражения в уравнение при V =0, находим систему дискретных уровней:
Вдоль оси x электрон двигается свободно и обладает полной энергией
рис.6. Плотность электронных состояний в случае 1D-кристалла. Плотность состояний рассчитывается вдоль той же линии, как это имеет место в случае квантовой ямы.
В этой простой модели
|
, (44)
. (45)
(46)
, (47)
. (48)
. (49)
. (50)
. (51)
(рис.6).
