Студопедия — Теорема о полярном разложении линейного оператора в евклидовом линейном пространстве
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема о полярном разложении линейного оператора в евклидовом линейном пространстве

Теорема: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда существуют ортогональный оператор и самосопряженный оператор такие, что .

Лемма 1: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда и самосопряженный линейный оператор на пространстве и все собственные значения вещественные и неотрицательные.

Замечание: Конечномерность линейного пространства необязательна, но для конечномерных пространств доказательство этой леммы проще.

Лемма 2: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, , тогда .

Замечание: Конечномерность линейного пространства необязательна, в доказательстве теоремы достаточно включения .

Лемма 3: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, и – два его ортонормированных базиса с матрицей перехода , тогда существует ортогональный эндоморфизм такой, что для всех , т.е. с относительно базиса .

Лемма 4: Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, а с диагональной матрицей с матрицей относительно ортонормированного базиса этого пространства, тогда – самосопряженный линейный оператор на .

Доказательство теоремы:

1. упорядочим собственные значения : ,

2. В линейном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного оператора , причем , при .

3.

при ,где – дельта Кронекера. Тогда ­ ортогональная система векторов, причем .

4. Положив при , получим ортонормированную систему векторов . Дополним эту систему до ортонормированного базиса в линейном пространстве .

5. Причем при , а , при , так как по лемме 2 . Т.е.

.

6. Заметим, что отображение имеет диагональную матрицу относительно ортонормированного базиса , а значит, согласно лемме 2, является самосопряженным.

7. и – два ортонормированных базиса существует ортогональный эндоморфизм такой, что для всех .

8.

Получили, что , где и .

PS. В п.8. – диаграмма, нарисовать ее в Word-е сложно, имеются в виду три отображения: ,

и .




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Закрепление тем курсовых работ | ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВЫБОРА МЕТОДА СИНТЕЗА

Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 882. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

Устройство рабочих органов мясорубки Независимо от марки мясорубки и её технических характеристик, все они имеют принципиально одинаковые устройства...

Ведение учета результатов боевой подготовки в роте и во взводе Содержание журнала учета боевой подготовки во взводе. Учет результатов боевой подготовки - есть отражение количественных и качественных показателей выполнения планов подготовки соединений...

Сравнительно-исторический метод в языкознании сравнительно-исторический метод в языкознании является одним из основных и представляет собой совокупность приёмов...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия