Основные теоретические положения. Обратная задача моделирования

Обратная задача моделирования. Метод наименьших квадратов. Рассмотрим динамическую систему, модель которой представляется функциональной зависимостью , где - выходной (измеряемый) сигнал, - входная управляющая переменная, - совокупность параметров модели.

Прямая задача моделирования: пусть сигнал управления задан на некотором интервале времени , известна функция модели и определенны ее параметры .

Необходимо определить значение выхода на указанном периоде времени при заданных начальных условиях (н.у.) выходной функции и ее производных (если потребуется).

 

Рис. 1 Структурная схема задачи прямого моделирования

Обратная задача моделирования (идентификация): известно значение сигнала управления на интервале времени и известна реакция системы на это управление – т.е. измеренный сигнал переходного процесса на выходе .

Необходимо определить вид функции (идентификация в большом) или параметры модели (идентификация в малом или параметрическая идентификация). Для идентификации в малом необходимо построить алгоритм оценивания параметров модели на основе данных измерений входного и выходного сигналов модели (см. рис. 2).

Одним из распространенных методов идентификации динамических систем является метод наименьших квадратов (МНК).

 

Рис. 2 Структурная схема идентификации

Рассмотрим линейную динамическую систему, заданную дифференциальным уравнением (иначе - в виде передаточной функции):

(1)

здесь , - параметры системы, , . Вводя обозначение для оператора дифференцирования , уравнение (1) можно записать в виде:

Перепишем это уравнение, оставляя в левой части выходной сигнал :

иначе:

(2)

где введены следующие обозначения: , - вектор параметров, - вектор регрессионных переменных

По-сути мы получили модель в виде , при этом параметры описываются вектором , а функция описывает линейную зависимость между параметрами и производными входного и выходного сигналов. Запись модели в виде (2) называется записью в линейно-регрессионном виде.

При решении задачи параметрической идентификации, параметры модели (1) (и соответственно (2)) являются неизвестными и подлежащими определению. Пусть сигнал и регрессионные переменные - доступны к измерению (известны) на периоде . Будем искать оценку параметров . Для этого построим оценку выхода модели (2) с использованием оценки параметров и измеряемых регрессоров : . Запишем квадратичное уравнение невязки и будем искать его минимум:

Данная запись означает, что минимальное отклонение (по квадратичному критерию) измеряемого выхода от его оценки для всех значений времени достигается при точных оценках параметров .

Для поиска минимума критерия находим его производную по вектору и приравниваем его к нулю:

Результатом минимизации данного критерия будет система алгебраических уравнений вида:

или в матричном виде:

(3) где ( означает запись симметричного относительно диагонали элемента).

.

Тем самым решение задачи идентификации по схеме МНК будет получаться на основе решения системы уравнений (3), которое дает искомые оценки вектора параметров в виде:

, (4)

где - обратная матрица к .

Приведение модели системы к линейно-регрессионному виду. Для использования схемы МНК необходимо уравнение модели привести к линейно-регрессионному виду (2):

Необходимо отметить, что такое приведение всегда неоднозначно (может быть получено множеством способов).

Отметим некоторые особенности построения схемы МНК:

1) Приведение модели к линейно-регрессионному виду всегда начинается с составления уравнения модели, включающего только измеряемые переменные. В этом уравнении производится группировка относительно переменных, после чего выбирается выходная переменная , и формируется вектор регрессоров в правой части.

Пример: в уравнении

После группировки получаем . Выбираем в качестве выходной переменную : . Заметим, что в этом уравнении можно сгруппировать два последних слагаемых относительно общего параметра : . Вектор регрессоров в правой части запишется в виде: , , .

2) Знаки регрессионных переменных переносятся в вектор

Пример: пусть , тогда .

3) В левой части линейно-регрессионного уравнения, в качестве выходной переменной может быть записана любая линейно-независимая переменная (исключая переменные управления и их производные) из исходного дифференциального уравнения.

Пример: или в операторном виде:

Вариант 1: в качестве выходной переменной берем исходную , тогда

Вариант 2: в качестве выходной переменной берем производную , тогда

Выбор выходной переменной влияет на вид регрессионного уравнения и может влиять на надежность и точность результатов схем МНК-идентификации, построенной по этому уравнению.

4) Одно из основных условий, обеспечивающих работоспособность схемы МНК-идентификации, является использование данных о динамике процессов при формировании расчетной выборки (матриц и вектора ). Т.е. входное воздействие должно быть таковым, чтобы выходной сигнал и все его производные, входящие в уравнение системы, были «подвижными» - образовывали переходные процессы.

Пример: Задано уравнение или в операторном виде: . В качестве выхода берем переменную , тогда:

Вариант 1: пусть , отсюда - все регрессионные переменные изменяются со временем («подвижны»).

Вариант 2: пусть , отсюда - одна из регрессионных переменных «неподвижна», поэтому ее необходимо исключить из регрессионного уравнения:

5) При численном моделировании исходной системы (т.е. в дискретном времени ), вместо непрерывных регрессионных переменных и выходной переменной рассматриваются их дискретные аналоги и .