Приклад 5. Побудова математичної моделі резервуару під тиском.

Розробити математичну модель резервуару під тиском, якщо його об’єм становить V_р=10,0 м³, витрати повітря на вході F_n=5110 м³/год, коефіцієнт витрат регулюючого органу , тиск Р=0,8 МПа, температура t=25 .

Матеріальний баланс об’єкту керування записується в вигляді:

.

Сталими параметрами нелінійної моделі є об’єм V_р резервуару, газова стала R, коефіцієнт витрати регулюючого органу , стала с, яка залежить від показника адіабати для даного газу.

До змінних параметрів відносяться: тиск Р в резервуарі, який є вихідним для об’єкту керування, температура газу Т, витрати газу F_n, площа поперечного перетину регулюючого органу S_P.

Структурно-логічна схема об’єкта керування зображена на малюнку, рис.

 

Рис. Структурно-логічна схема об’єкту керування.

 

Це рівняння запишемо в вигляді:

.

Змінні параметри:

Функцію розкладемо в ряд Тейлора навколо номінального значення температури :

.

Рівняння статики .

Підставляючи відповідне рівняння, після множення та нехтування складовими малої ступені важливості, вилучення рівняння статики матимемо

Приведемо це рівняння до відносних величин, вводячи позначення:

Тоді, розділивши рівняння (4.104) на , матимемо:

Позначимо – стала часу;

– коефіцієнти передачі.

Тоді рівняння математичної моделі об’єкту матиме вигляд:

.

Сталу с знаходимо за формулою . Показник адіабати для двохатомних газів k=1,4 (в нашому випадку). Отже, с=0,684.

З рівняння статики знаходимо поперечний перетин регулюючого органу:

м². Знайдемо сталу часу об’єкту:

c.

Сталу часу знайдено для випадку, коли тиск змінюється від 0,8 МПа до атмосферного. Враховуючи обмежуючі умови на відхилення величини тиску від номінального значення, стала часу буде меншою. Якщо, наприклад, у відповідності до технологічного процесу зміна тиску в резервуарі має бути 20% від номінального значення, стала часу буде c.

Коефіцієнти передачі об’єкта будуть:

;

.

Рівняння математичної моделі матиме вигляд:

Передаточні функції щодо відповідних каналів впливу будуть:

.

Час запізнення об’єкта c.

Час запізнення для такого об’єкта значно менший за сталу часу та для практичних розрахунків ним можна знехтувати.