ЧАСТЬ 1. ТРЕУГОЛЬНИК И ЕГО СВОЙСТВА.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

1. На одной стороне угла с вершиной S отмечены точки D и B, причем SB > SD, на другой стороне – точки C и E. SD = SC, SB = SE. Докажите, что XB = XE, где X = DE CB.

2. В треугольнике АВС проведена медиана АА ₁. На ней задана точка К такая, что СКА ₁ = А ₁ КВ. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.

3. Докажите, что вершины В и С треугольника АВС равноудалены от медианы m_a.

4. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВВ ₁. Пусть М – такая точка плоскости, что отрезок МВ ₁ пересекает сторону ВС в точке К. ВМ = АВ ₁, МВВ ₁ = ВВ ₁ А. Докажите, что ВК = КВ ₁.

5. Докажите, что если угол и две высоты одного треугольника соответственно равны углу и двум высотам второго треугольника, то эти треугольники равны.

6. Угол ВАС равен 30⁰. Из точки D стороны АВ опущен перпендикуляр DE на сторону АС; из точки Е опущен перпендикуляр EF на сторону АВ; из точки F – перпендикуляр FM на сторону АС. Вычислите FM, если DE равен 10.

7. Докажите, что если высота треугольника делит его периметр пополам, то треугольник равнобедренный.

8. Докажите, что если биссектриса треугольника делит его периметр пополам, то треугольник равнобедренный.

9. Найти углы треугольника, в котором высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на три равные части.