Устойчивость оптимального решения.Рассмотрим теперь понятие устойчивости оптимального решения. В первом примере (см. рис 2.2.1.) оптимальное решение находится в точке С, которая является пересечением двух прямых, заданных уравнениями 2 х 1 + 1 х 2 = 12, (I) 2 х 1 + 3 х 2 = 18. (II) Целевая функция F =5 х 1 + 6 х 2 (здесь c 1=5, c 2=6) максимальное значение приняла в точке С. После составления плана и его реализации в конкретной производственной программе c 1 и c 2 (удельная прибыль или затраты) могут изменяться. Зададимся следующим вопросом: при каком соотношении коэффициентов целевой функции c 1 и c 2 оптимальное решение сохранится (устоит) в точке С? Из курса высшей математики (раздел аналитической геометрии) нам известно, что коэффициенты, стоящие перед переменными х 1 и х 2 в уравнении прямой суть координаты вектора, перпендикулярного данной прямой (т.н. нормаль). На рис.2.2.1 нормаль к целевой функции обозначена n, нормаль к ограничению (I) n 1 и нормаль к ограничению (II) n 2. Чтобы оптимальное решение сохранялось в точке С при изменяющихся коэффициентах c 1 и c 2 необходимо, чтобы вектор нормали n лежал между векторами n 1 и n 2. Для этого необходимо, чтобы тангенс угла между вектором n и осью х 1 (обозначим через tg(n, х 1)) был больше tg(n 1, х 1), но меньше tg(n 2, х 1). Таким образом, для обеспечения устойчивости оптимального решения в точке С необходимо выполнение условия: tg(n 1, х 1) £ tg(n, х 1) £ tg(n 2, х 1). Так как tg(n, х 1) = с 2/ с 1, tg(n 1, х 1) = а12 /а11 =1/2, tg(n 2, х 1) = а22 /а21 =3/2, окончательно получаем для примера 2.2.1 соотношение устойчивости оптимального решения в виде: 1/2 £ с 2/ с 1 £ 3/2. В случае n переменных получаем много соотношений аналогичного вида между всеми с k и с j (k¹j) показывающих, при каких условиях изменение коэффициентов целевой функции не повлечет изменение оптимального решения. Подставляя вместо c 1 и c 2 их значения получим проверочные соотношения 1/2 £ 6 /5 £ 3/2. Для второй задачи соотношение устойчивости оптимального решения будет иметь вид: 2/10 £ с 2/ с 1 £ 1/0.5, а проверочное соотношение 2/10 £ 2.5 /1.5 £ 1/0.5.
|
