А) ; б) . 1.60 а) ; б) .

Практическое занятие.

Тема. N – мерный арифметический вектор. Линейные операции над векторами (сложение, умножение на число, линейная комбинация векторов). Линейная зависимость и независимость систем векторов. Ранг и базис системы векторов, пространства. Представление вектора в данном базисе, координаты вектора. Скалярное произведение, ортогональность векторов.

Арифметическим вектором называется всякая упорядоченная совокупность из чисел: и обозначается . Числа называются компонентами вектора , число компонент называется его размерностью. Векторы и называются равными, если они одной размерности и их соответствующие элементы равны: , . Суммой (разностью) векторов и одной размерности, называется вектор той же размерности, для которого: , . Произведением вектора на число называется вектор той же размерности, для которого: , . Линейной комбинацией векторов и одной размерности, называется вектор той же размерности ( и - произвольные числа), для которого: , . Скалярным произведением векторов и называется число, определяемое формулой: . Два вектора и называются ортогональными, если .

Множество всех -мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям (аксиомам) называется пространством арифметических векторов (векторным пространством) и обозначается . Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа , не равные одновременно нулю, такие, что (где - нулевой вектор). Если равенство выполняется, только при , то система называется линейно независимой. Базисом системы векторов называется упорядоченная система векторов , удовлетворяющая условиям: 1) , ; 2) система линейно независима; 3) для любого вектора найдутся числа , такие, что . Коэффициенты , однозначно определяемые вектором , называются координатами вектора в базисе , а формула называется разложением вектора по базису . Рангом системы векторов называется число векторов в любом из её базисов и обозначается или . В пространстве базисом является всякая упорядоченная система из линейно независимых векторов: . Ранг пространства равен и называется его размерностью. Координаты одного и того же вектора в двух базисах и связаны соотношением: , где матрица , столбцами которой являются коэффициенты разложения векторов по базису : , , называется матрицей перехода от базиса к базису . Понятие ранга матрицы используется для исследования линейной зависимости системы векторов и нахождения её ранга. Ранг системы векторов равен рангу матрицы, столбцами которой являются координатные столбцы векторов системы. Система векторов будет линейно зависима, если её ранг меньше числа векторов в системе.

В задачах 1.59-1.60 найти линейные комбинации векторов, если заданы арифметические векторы: ,

а); б). 1.60 а); б).

В задачах 1.61-1.62 найти вектор из уравнений.