ВВЕДЕНИЕ. Рассмотрим механизм возникновения внутреннего трения (вязкости) в жидкостях

Рассмотрим механизм возникновения внутреннего трения (вязкости) в жидкостях. Молекулы в жидкостях, интенсивно взаимодействуя между собой, находятся на значительно меньших расстояниях относительно друг друга, чем молекулы газа.

Характер теплового (хаотического) движения молекул в жидкостях существенно отличается от теплового движения молекул газа. Молекулы жидкости большую часть времени колеблются около своего положения равновесия. Вследствие хаотичности движения скорости и амплитуды колебаний соседних молекул различны, и время от времени соседние молекулы расходятся настолько, что некоторые из них оказываются на расстояниях порядка диаметра молекул (перескакивают) и начинают колебаться около нового положения равновесия.

При течении реальной жидкости отдельные слои ее воздействуют друг на друга с силами, касательными к этим слоям. Это явление называют внутренним трением или вязкостью.

Рассмотрим течение вязкой жидкости по горизонтальному руслу (рис. 1). Условно представим жидкость в виде нескольких слоев 1, 2, 3, 4, 5, 6. Слой вязкой жидкости, непосредственно граничащий с горизонтальным руслом, «прилипает» к нему и неподвижен. По мере удаления от дна скорость слоев жидкости нарастает (v₁<v₂<v₃<v₄<v₅<v₆). Максимальная скорость будет у слоя, который граничит с воздухом. Слои воздействуют друг на друга. Более быстрый слой ускоряет соседний с ним более медленный и, наоборот, более медленный задерживает более быстрый.

Вязкость проявляется в форме силы, препятствующей относительному движению слоев жидкости, касательной к слоям. Сила внутреннего трения, действующая между двумя слоями, пропорциональна площади соприкосновения взаимодействующих слоев и тем больше, чем больше их относительная скорость. Принято выражать силу в зависимости от изменения скорости, приходящегося на единицу длины в направлении, перпендикулярном скорости, т.е. от величины dv/dy, называемой градиентом скорости (формула Ньютона):

F = h . (1)

Величина h (греческая буква «эта») называется коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом динамической вязкости. Если в (1) положить численно dv/dy = 1 и S = 1, то h = F, т.е. коэффициент динамической вязкости численно равен силе внутреннего трения, возникающей на каждой единице поверхности соприкосновения двух слоев, движущихся один относительно другого с градиентом скорости, равным единице.

В системе СИ (кг, м, с и т.д.) h измеряется в Па×с. Это такая вязкость, при которой на слой площадью в 1 м ² действует сила в 1 Н при градиенте скорости 1 м/с на каждый метр длины.

В системе СГС (г, см, с, и т.д.) h измеряется в Пз (Пуазах).

Из молекулярно-кинетической теории следует, что существование внутреннего трения связано с переносом количества движения молекулами из слоя в слой вследствие теплового движения. В газах перенос количества движения происходит при переходе молекул из одного слоя в другой, что и определяет внутреннее трение между слоями. В жидкостях молекулы большую часть времени находятся около положения равновесия и этот механизм играет незначительную роль. Основной причиной возникновения сил трения в жидкостях является сильное взаимодействие между молекулами отдельных слоев. Движущийся слой жидкости увлекает соседние слои в основном за счет сил сцепления. Коэффициент вязкости жидкости зависит от природы жидкости и от температуры. С ростом температуры коэффициент вязкости жидкости уменьшается (у газов возрастает). Зависимость его от температуры жидкости дается формулой Френкеля:

h = B×exp(), (2)

здесь B - константа, k - постоянная Больцмана, Е - энергия активации: минимальная энергия, необходимая молекуле для преодоления сил взаимодействия с ближайшим окружением и перескока в новое положение равновесия. Величина Е ~ (2-3)*10^-20 Дж, поэтому при нагревании жидкости на 10 градусов вязкость падает на 20-30%. В таблице 1 приведены некоторые характерные значения вязкости.

Таблица 1

Вещество	Температура, оС	h, Па×с
Воздух		1.71 .10-5
		1.84 .10-5
		1.96 .10-5
Вода		1.79 .10-3
		1.00 .10-3
		6.56 .10-4
Глицерин	-42
		1.49
Кровь		4.0 .10-3

Коэффициент вязкости жидкости может быть определен методом падающего шарика в вязкой среде (метод Стокса).

Рассмотрим свободное падение тела (в нашем случае - свинцового шарика) в вязкой покоящейся жидкости, простирающейся безгранично по всем направлениям. На шарик, свободно падающий в такой жидкости, не оставляющий за собой никаких завихрений (это реализуется при малых скоростях падения шариков малых размеров), действуют три силы:

1. Сила тяжести (P):

P = mg = V×r₂ ×g = r³×r₂×g, (3)

где r - радиус шарика; r₂ - плотность шарика; g- ускорение свободного падения; m - масса шарика; V - объем шарика.

2. Выталкивающая сила (сила Архимеда, F₁):

F₁ = Vr₁g = r³r₁g, (4)

где r₁ - плотность жидкости.

3. Сила сопротивления движению ( F₂, обусловленная силами внутреннего трения между слоями жидкости):

F₂ = 6 p h r v,(5)

где v - скорость слоев жидкости (скорость шарика).

Следует учесть, что здесь играет роль не трение шарика о жидкость, а трение отдельных слоев жидкости друг о друга, поскольку при соприкосновении твердого тела с жидкостью к поверхности тела сразу же прилипают молекулы жидкости. Тело обволакивается слоями жидкости и связано с ними межмолекулярными силами. Непосредственно прилегающий к телу слой жидкости движется вместе с телом со скоростью движения тела. Он увлекает в своем движении соседние слои жидкости, которые на некоторый период времени приходят в плавное безвихревое (ламинарное) движение (если скорость движения мала и диаметр шариков мал). Направление указанных выше сил показано на рис. 2.

Вначале шарик падает с ускорением и скорость движения шарика возрастает, но по мере увеличения скорости шарика сила сопротивления F₂ будет также возрастать и, наконец, наступит такой момент, когда сила тяжести Р будет уравновешена суммой F₁ и F₂ и ускорение обратится в ноль:

P = F₁ + F₂. (7)

С этого момента движение шарика становится равномерным с какой-то скоростью v_o.

Подставляя в (7) соответствующие значения для Р, F₁ и F₂, получим для коэффициента вязкости выражение

h = (r₂ - r₁) . (8)

Формула (8) справедлива, если шарик падает в жидкости, простирающейся безгранично по всем направлениям. Практически невозможно осуществить падение шарика в безграничной среде, так как жидкость всегда находится в каком-то сосуде, имеющем стенки и определенную высоту столба. Если шарик падает вдоль оси цилиндрического сосуда радиуса R с высотой жидкости h, то учет наличия стенок и высоты дает следующее выражение для h:

h = . (9)

Вопрос о том, какой формулой пользоваться при расчете, решается в зависимости от величины соотношения r/R и r/h. При движении шарика по оси цилиндра и при соотношении r/R = 1/10 различие в значениях h, полученных по формулам (8) и (9), составляет около 25%.