Механизмы с коромыслом и роликом. Схема такого механизма представлена на рис

Схема такого механизма представлена на рис. 3.1а. Для этих механизмов основными геометрическими параметрами являются: или пара (R _O, L) или пара (R _O, l _к), где R _O – радиус базовой окружности кулачка, L – межцентровое расстояние (между центром вращения кулачка и центром качания коромысла), l _к – длина коромысла. Также, как для механизмов с толкателем и роликом или с заостренным толкателем здесь основные геометрические параметры определяют из условия ограничения угла давления g [1, 14, 18]. Для механизмов рассматриваемого типа его предельно допускаемая величина обычно [g] £ 45 … 50^o. Превышение этих значений приводит к заклиниванию механизма, а условием незаклинивания является g £ [g] для любого положения механизма.

Сначала так же, как для механизмов с толкателем, найдем связь между углом давления и основными геометрическими параметрами.

На рис. 3.12 представлена расчетная схема. Найдем полюс зацепления P на пересечении нормали к профилю кулачка n-n, и линии центров ОО₁.

По оси коромысла О₁A в масштабе чертежа отложим величину аналога скорости точки A:

(3.15)

 

где b = b_О + y – угол поворота коромысла, отсчитываемый от линии центров ОО₁, y – угол поворота коромысла, отсчитываемый от положения, соответствующего фазе ближнего выстоя, j – угол поворота кулачка.

Проведем под углом передачи m луч до пересечения с линией центров. По определению углов давления и передачи в точке пересечения должна находиться ось вращения кулачка. Из построенного таким образом DОО₁E со сторонами

 

ОО₁ = L

О₁E = l _к + s₂’ = l _к (1 + b’)

 

по теореме синусов найдем:

 

(3.16)

 

Заметим, что угол давления g зависит от соотношения l _к / L, от b и b’. При заданном законе движения коромысла величины b и b’ для каждого положения известны. Кроме того, отметим, что если центр вращения кулачка на рис. 3.12 сместить в любую точку ниже прямой OE, то угол передачи увеличится, а угол давления соответственно уменьшится.

В выражениях (3.16) в явном виде нет такого параметра как радиус базовой окружности кулачка R _О. Но в неявном виде он там присутствует, т.к. угол b зависит от угла b_О, а тот в свою очередь связан с R _О соотношением, определяемым из DОО₁A_О по теореме косинусов:

 

R _О² = l _к² + L ² – 2 l _к L cos b_О (3.17)

 

Таким образом, выражения (3.16) и (3.17) дают связь угла давления с основными геометрическими параметрами рассматриваемого механизма. В отличие от случая механизма с толкателем, рассмотренного в подразделе 3.6 здесь не удается получить столь явную и удобную форму этой связи, но полученные результаты позволят построить методику определения параметров механизма, обеспечивающих его незаклинивание.

На рис. 3.13 показаны расчетные схемы, с помощью которых можно найти величины R _O и L, такие, что всегда будет выполнено условие не заклинивания g £ [g] [14, 18 ] (рис. 3.13a – для механизмов с геометрическим замыканием, рис. 3.13б – с силовым).

Угловое перемещение коромысла как функцию угла поворота кулачка y(j) и функцию y’(j) = dy/dj – аналога угловой скорости коромысла получают так, как это описано в п. 3.2. Величина s₂’ = y’ l _к – аналог скорости точки А – конца коромысла – вектор, направление которого определяют, повернув вектор скорости точки А на 90° по направлению вращения кулачка, т.е. линия действия вектора y’ l _к совпадает с коромыслом ОА. Откладывая векторы y’ l _к от дуги AB – влево для фазы удаления, вправо – для фазы возврата и проведя через концы векторов плавную кривую, получим диаграмму y’ l _к (y).

Найдем область возможных положений точки О – центра вращения кулачка. Пусть для некоторого угла поворота кулачка j _i угол поворота коромысла на фазе удаления y _i. Если через точку D _i – конец вектора y’ l _к провести прямую t-t под углом [m] = 90° – [g] к вектору O _i D _i (см. рис. 4.8), то для данного угла j _i t-t – геометрическое место предельно возможных положений точки O. Если центр вращения кулачка будет располагаться на этой прямой, то в данном положении g = [ g ], если левее, то g <;[ g ], если правее, то g >;[ g ]. Аналогично, для любого j -го положения на фазе возврата для механизма с геометрическим замыканием прямая t₁-t₁ определяет геометрическое место предельно возможных положений точки O, но в этом случае g <;[ g ], когда центр вращения кулачка правее прямой t₁-t₁.

Для механизма с геометрическим замыканием (см. рис. 3.13а), проводя прямые t-t и t₁-t₁ для всех рассматриваемых положений, выбирают такое их сочетание, когда величина AC будет наибольшей; такое сочетание и определит область возможных положений точки О.

Для механизма с силовым замыканием (см. рис. 3.13б), когда угол давления ограничивается лишь на фазе удаления, положение прямой t₁-t₁ фиксировано (y _j = 0), а варьируется лишь положение t-t. Этот вариант является частным случаем предыдущего, поэтому рассмотрим вариант механизма с геометрическим замыканием как более общий.

Введем неподвижную систему координат OXY, направление оси X соответствует положению коромысла при y = 0. Если угол поворота коромысла y _i на фазе удаления и уголy _j на фазе возврата соответствуют предельным положениям прямых t-t и t₁-t₁ (см. рис. 3.13а), то искомые величины R _O, L определяются после вычисления координат x _C, y _C точки C, которые найдем совместным решением уравнений прямых t-t и t₁-t₁.

Уравнение прямой t-t

y = tg b _i (O₁H _i – x), (3.18)

где b _i = [m] + y _i.

Выражая величину O₁H _i через известные параметры, получим

 

y = l _к (1+ y’ _i)(tg b _i cos y _i – sin y _i) – x tg b _i. (3.19)

 

Аналогично, для прямой t₁-t₁

 

y = tg b _j (x – O₁H _j);

y = x tg b _j – l _к (1+y’ _j)(tg b _j cos y _j + sin y _j). (3.20)

где b _j = [m] – y _j.

Приравнивая правые части уравнений (3.19) и (3.20), найдем координату x _C точки О:

 

x _C = l _к [(1+y’ _i)(tg b _i cos y _i – sin y _i) + (1+y’ _j)(tg b _j cos y _j + sin y _j)]/(tg b _i + tg b _j)

(3.21)

тогда координата y _C – значение правой части выражения (3.19) при x = x _C .

Точка А имеет координаты А(l _к,0), следовательно,

(3.22)

При проектировании кулачковых механизмов возможны ситуации, когда межцентровое расстояние L заранее выбрано из конструктивных соображений. В этом случае необходимо найти такой радиус R _O, который позволил бы сохранить выбранное значение L. Очевидно, что решение будет получено, если найти координаты точек пересечения окружности радиуса L с центром в точке О₁ с прямой t-t (L < O₁C) или с t₁-t₁ (L > O₁C); при этом из двух точек пересечения прямой с окружностью следует выбирать точку с большим значением x. Если прямая и окружность заданы уравнениями y = ax + b; x ² + y ² = L ², то абсциссы x _п1,2 точек их пересечения

(3.23)

из двух значений x _п выбираем большее, тогда y _п = a x _п + b. Величины a и b вычисляются в соответствии с выражениями (3.19), (3.20):

(3.24)

Радиус базовой окружности в этом случае

(3.25)

На практике обычно центр вращения кулачка точку O располагают внутри допустимой зоны (см. рис. 3.13), обеспечивая тем самым некоторый запас по углу давления. Если межцентровое расстояние L заранее не задано, то точку O целесообразно располагать на равном удалении от прямых t-t, t₁-t₁. Расчет её положения аналогичен описанному выше расчету положения точки С, надо лишь параллельно сместить прямые t-t, t₁-t₁ внутрь зоны. Обозначим: K_C ³ 1 – коэффициент запаса. Тогда формулы (3.19)... (3.22) примут вид [5]:

 

y = l _к (K_C+y’ _i)(tg b _i cos y _i – sin y _i) – x tg b _i ,

y = x tg b _j – l _к (1/ K_C +y’ _j)(tg b _j cos y _j + sin y _j), (3.26)

x _O = l _к [(K_C + y’ _i)(tg b _i cos y _i – sin y _i) +

+ (1/ K_C + y’ _j)(tg b _j cos y _j + sin y _j)] / (tg b _i + tg b _j),

Таким образом, общая последовательность определения основных, габаритных параметров механизмов с коромыслом и роликом следующая. С достаточно мелким шагом строится диаграмма y’ l _к (j) как это показано на рис. 3.13. Определяется количество точек этой функции, находящихся на фазе удаления – n₁, и на фазе возврата – n₂. Для каждого сочетания i = 1,2,... n₁, j = 1,2,... n₂, производятся вычисления по формулам (3.19) … (3.22) и запоминается вариант с наибольшим значением R _{O min}. Если межцентровое расстояние L задано конструктивно, то R _O определяют по формулам (3.23) … (3.25). В противном случае R _O и L находят по зависимостям (3.26).

Если значение R _{O min}, полученное из условия ограничения угла давления, столь мало, что конструктивно не может быть реализовано, то в качестве R _{O min} принимают конструктивно допустимую величину, а L определяюттак, чтобы центр вращения кулачка располагался в допустимой зоне.