Интерполяционная формула ЛагранжаДля произвольно заданных узлов интерполирования (в том числе и для неравноотстоящих узлов) применяется интерполяционная формула Лагранжа.
Требуется построить полином
Рис. 4.2 Построение полинома что
Рассмотрим частную задачу: построить полином при Т.е. Такой полином имеет вид:
При поэтому И В результате получаем:
Будем теперь искать интерполяционный полином в виде
Этот полином имеет вид:
Подставляя (15) в (16), получаем:
Это и есть интерполяционная формула Лагранжа
При n=1 имеем:
проходящей через 2 заданные точки: ( При n=2 получаем уравнение параболы, проходящей через три точки:
(точки Пример: Для функции Решение: Вычисляем По формуле (17) получаем:
Точность не велика, т.к. синусоиду мы интерполируем квадратичной параболой.
Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа
где
Пример: с какой точностью можно вычислить Решение:имеем
Из формулы (18) получаем:
|
Пусть на отрезке [a, b] задано n+1 значений аргумента и известны значения функций y=f(x):
степени не выше n, имеющий в заданных узлах 
, те же значения, что и функция f(x), т.е. такой,
, такой, чтобы 
= 0
и 
при 
(13)
(14)
в силу условия (13),
(15)
(16)
(17)
- уравнение прямой,
построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы: 
(18)
с помощью интерполяционной формулы Лагранжа для функции 
, выбрав узлы интерполирования 
Три точки n=2.
Отсюда 
(т.к. 
