Определение дискретного преобразования Лапласа.Дискретное преобразование Лапласа определяется формулой (11.12) где - комплексная переменная, называется изображением, - решетчатая функция. Дискретное преобразование Лапласа также называют D - преобразованием и обозначают , т.е. . Наряду с D – преобразованием применяется так называемое Z – преобразование. Z – преобразование определяется формулой (1) в которую вводится новая переменная . (11.13) Z – преобразование обозначают так:
. Если известно изображение некоторой решетчатой функции, то соответствующее изображение может быть найдено с помощью замены комплексной переменной q по формуле , тогда
. Аналогично можно определить изображение по заданной функции . Т.о. принципиальной разницы между D – преобразованием и Z – преобразованием не существует. Все основные свойства Z – преобразования могут быть получены из соответствующих свойств D – преобразования. В выражении (11.12) справа стоит ряд, который сходится абсолютно в каждой точке полуплоскости , сходится равномерно в каждой полуплоскости и
расходится в полуплоскости (рис.11.2). Величина называется абсциссой абсолютной сходимости D – преобразования (11.12). Т.о. область сходимости D – преобразования есть полуплоскость, расположенная справа от прямой (рис.11.2). Если в частности , то ряд (11.12) сходится всюду, если же , то D – преобразования не существует. Так же можно сказать, что функция является аналитической в полуплоскости . По аналогии с непрерывным преобразованием Лапласа, будем называть оригиналом решетчатую функцию , которая равна нулю при n<0 и удовлетворяет при условию где М>0 и некоторые постоянные величины. Величина называется показателем роста решетчатой функции . Теорема. Для всякого оригинала изображение определено в полуплоскости и является в этой полуплоскости аналитической функцией. Непосредственно из определения D – преобразования по формуле (1) следует, что функция является периодической вдоль мнимой оси плоскости q с периодом . Действительно, где r – любое целое число. Поэтому достаточно изучить свойства функции в любой полосе шириной . Наиболее удобна для этой цели полоса . (рис.11.3).
Эту полосу удобно называть основной полосой.
|