Тема 2. Производная функции.

 

Упражнение 1. Найти производные функций:

1. y = x⁴ 2. f(x) = 3x⁵ 3. y = 4x^-2 4. s =

5. f(x) = Найти f'(3)

6. y = 3x³(x² - 7x + 4) 7. y = 2 8. y = 9. y = x²

10. y= 11. f(x) = Найти f'(1)

12. f(x) = 3x³

13. y = 14. y = 15. y =

16. y = 17. y = x( Найти y'(4,2)

18. f(t) = Найти f'(8) 19. y =

20. f(x) = 21. y =

22. y = 23. f(x) =

Упражнение 2. Уравнения касательной и нормали к кривой.

 

1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции f(x) = x² + 4x + 5 в точке с абсциссой x = -3.

2. К графику функции f (x) = x + 3x² в её точке с абсциссой x = -1 проведены касательная и нормаль. Составьте их уравнения.

Упражнение 3. Физические приложения производной.

1. Движение точки, движущейся прямолинейно, задано уравнением s = t³ + 5t² + 4. Найдите скорость и ускорение в момент t = 2с

2. Найдите ускорение точки, если скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v = t² + t – 1 в момент t = 3c

3. Точка движется прямолинейно по закону s = 6t – t². В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю?

4. Точка движется прямолинейно по закону s = t² – 8t + 4. В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю?

5. Закон изменения температуры Т тела в зависимости от времени t задан уравнением Т = 0,2t². С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t = 10?

6. Температура тела T изменяется в зависимости от времени t по закону Т = 0,5t² - 2t. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t = 5?

7. Тело массой 10 кг. движется прямолинейно по закону s = 3t³ + t + 4. Найти кинетическую энергию тела (mv²/2) через 4с после начала движения.

8. Тело массой 100кг. движется прямолинейно по закону s=5t² – 2. Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.

9. Сила тока I изменяется в зависимости от времени t по закону I=0,4t² (I - в амперах, t - в секундах). Найдите скорость изменения силы тока в конце 8-ой секунды.

10. Изменение силы тока I в зависимости от времени t дано уравнением I=2t²-5t (I - в амперах, t - в секундах). Найдите скорость изменения силы тока в конце 10-ой секунды.

11. Точка движется прямолинейно по закону S= . Найти её скорость в момент t =2,25.

12. Движение точки задано уравнением S = t² - 4t + 20. В какой момент времени скорость точки будет равна нулю?

 

Упражнение 4. Производная сложной функции.

Найти производные функции:

1. y = (2x³-4x²+x)⁷ 2. y = (x³-1)⁷ 3. y = 1/(x²-1)⁴

 

4. f(x) = 5. f(t) = `t^{2 -} t + 1 Найдите f'(2)

 

6. y = 7. y = 8. f(x)=

 

9. y = x²· 10. f(x) = (t²+1)· 11. f(x) =

 

Упражнение 5.Производная логарифмической функции.

Найти производные функций:

1. y = ln(x³-4x+5) 2. y = lg(3x²-x³) 3. y=ln((2x-x³)⁴·(1-x⁵)) 4. y = ln

5. f(x)=2lg(x+1) Найти f'(1) 6. y = ln

Упражнение 6. Производная показательной функции.

Найти производные функций:

1. y = 2^-x 2. y = x·e^2x 3. y = e^-x 4 f(x) = Найти f'(-1)

Упражнение 7.Производные тригонометрических функций.

Найти производные функций:

1. y = sin7x 2. y = tg4x 3. y = cos5x 4. y = tgx-ctg2x

5. y = sin³x 6. y = -1/4 cos⁴x 7. f(x)= -ctg⁵x Найти f'

8. y = 9. y = sin4x·cosx 10. y = tg⁵3x-sin4x

11. y = cosx-1/3 cos³x

12.Точка движется прямолинейно по закону S = a·cos . Найти:

а) Скорость движения точки при t =

б) При каких значениях t скорость точки равна 0

 

13. Точка движется прямолинейно по закону S = sin²t. Найти время t, когда ускорение равно 0. Найти скорость движения в этот момент времени.