Основные свойства двойного интеграла

 

Пусть D – простой компакт в R² _. Имеют место следующие утверждения.

1. Если функция f (x; y) интегрируема в D и c = const ÎR, то функция c×f (x; y) также интегрируема в D и

.

2. Если функции f (x; y) и j(x; y) интегрируемы в D, то их сумма также интегрируема в D и .

Замечание. Это свойство методом математической индукции обобщается на случай любого конечного числа интегрируемых функций.

3. Свойство аддитивности:

Если компакт D есть объединение простых компактов D₁ и D_2. () без общих внутренних точек и функция f (x; y) интегрируема в D, то она интегрируема на каждом из компактов D₁ и D₂, причем

.

4. Если функция f (x;y) интегрируема в D и f (x; y) ³0 в D (f (x; y)£0 в D), то

().

5. Если функции f (x; y) и j(x; y) интегрируемы в D и f (x; y)£ j(x; y) в D, то

.

6. Если функция f (x; y) интегрируема в D и m £ f (x; y) £ M в D, то

.

Доказательство утверждений 1-6 аналогично доказательству соответствующих утверждений функций одной переменной.

7. Теорема о среднем значении для непрерывной функции:

Если функция f (x; y) непрерывна на связном простом компакте D, то существует по крайней мере одна точка (x₀;y₀)ÎD, такая, что

.

При этом число называется средним значением функции f на компакте D.

àТак как функция f (x; y) непрерывна на компакте D , то она принимает на нем свои наименьшее и наибольшее значения: m и M соответственно. Поэтому

.

Отсюда

.

Следовательно,

.

Число , промежуточное между m и М, само является значением функции f (x; y) в некоторой точке (x₀; y₀)ÎD:

.

Отсюда и следует (1).

8. Теорема об оценке двойного интеграла:

Если функция f (x; y) интегрируема в D, то функция также интегрируема в D, причем

.

à Так как , то

.

Последнее двойное неравенство равносильно (2).¨