МЕРЫ СВЯЗИ ДАННЫХ, ИЗМЕРЕННЫХ В РАЗНЫХ ШКАЛАХ

5.1. Точечный бисериальный коэффициент корреляции r_рb для данных, измеренных
в дихотомической шкале наименований и шкале интервалов

Если одна переменная измеряется в дихотомической шкале наи­менований, а другая – в шкале интервалов или отношений, то используется бисериальный коэффициент корреляции. В этом случае одна переменная измеряется дихотомически (например, пол, се­мейное положение), а измерение другой дает совокупность зна­чений со свойствами шкалы интервалов или отношений. Напри­мер, для группы младших школьников мы можем узнать, будут ли они впоследствии исключены из колледжа (показатель 0) на первом году обучения или останутся в нем (показатель 1), а так­же оценить их интеллект (в школе). Наблюдение двух перемен­ных, интеллекта (X) и успехов (Y), предполагает для каждого учащегося две оценки.

Один из способов описания связи между Х и Y – вычисле­ние коэффициента Пирсона по имеющимся данным. Такой коэффициент называется точечным бисериальным коэффициен­том корреляции и обозначается r_pb. Точечный бисериальный коэффициент корреляции r_pb – мера разности между средними оценками по Х объектов, имеющих единицы по Y, и объектов, имеющих нули по Y; оценивание связи между качественным альтернативным и количественным варьирующим признаками.

Термин “бисериальный” означает, что существуют две серии объектов при наблюдении X: те, что имеют нуль по Y, и те, что имеют еди­ницу. Названием и формулой этого коэффициента мы обязаны К. Пирсону. Иногда вместо выражения “точечный бисериальный” используется выражение “бисериальное произведение моментов”. Упрощенная формула r_pb имеет вид:

rpb = ,

где – среднее по Х объектов, имеющих единицы по Y: – среднее по Х объектов, имеющих нуль по Y; s_x – стандартное отклонение всех n значений по X, n₁ – число объектов, имеющих единицу по Y; n₀ – число объектов, имеющих нуль по Y, и n = n₁ + n₀.

Данное уравнение представляет собой алгебраическое упро­щение формулы коэффициента корреляции Пирсона для случая, когда Y – дихотомическая переменная. Это толь­ко один из нескольких возможных вариантов упрощений.

Как видно из анализа уравнения, r_pb есть мера разности между средними оценками по Х объектов, имеющих еди­ницы по Y, и объектов, имеющих нули по Y. Поскольку r_pb ничуть не больше коэффициента корреляции Пирсона, который вычисляется по данным специального вида, он должен прини­мать значения от –1 до +1 включительно. Если объекты, имеющие единицу по Y, имеют среднее по X, равное среднему объектов с нулями по Y, r_pb обратится в нуль.

Вычисление r_pb показано в табл. 19 на данных, собранных для выявления связи пола (номинальная дихотомическая пере­менная) и роста для 15 подростков – 8 мальчиков и 7 девочек.

Мальчики в среднем выше девочек (163,25 и 156,57 см соответственно), но связь, выявленная между полом и ростом, оказалась умеренной (0,41). Только одна девочка выше «сред­него» мальчика, но шесть из семи девочек выше самого малень­кого мальчика.

Таблица 19

Пример вычисления точечно-бисериального коэффициента корреляции

Представи­тель	Y Пол (1 – мужчина; 0 – женщина)	X Рост (в с­м)	Вычисление rpb
А			rpb = 0,41
В
С
D Е
F
G
H
I
j К
L
М
N
n1 = 8	=163,25
n0 = 7	=156,57
n =15	=160,13
	sx = 8,94