Екатеринбург

Екатеринбург

Г

Общие сведения.

Численный метод анализа, называемый методом конечных раз­ностей (МКР), имеет длительную историю развития. Первона­чально он использовался при ручном счете. Однако из-за малой производительности расчетчиков этот метод еще относительно недавно применялся лишь для ориентировочных расчетов, когда аналитические методы решения оказывались совершенно непри­емлемыми. Появление ЭВМ с большим быстродействием и зна­чительным объемом оперативной памяти вывело конечно-раз­ностные методы в первые ряды современных методов решения теплофизических задач.

Идея метода конечных разностей состоит в следующем. Об­ласть непрерывного изменения аргументов заменяется расчет­ной сеткой - дискретным множеством точек (узлов). Вместо функции непрерывных аргументов вводятся функции дискрет­ных аргументов - сеточные функции, определяемые в узлах сет­ки. Частные производные, входящие в дифференциальное урав­нение и граничные условия, заменяются (аппроксимируются) разностными соотношениями.

В результате такой замены краевая задача в частных про­изводных сводится к системе разностных (алгебраических) уравнений, называемых разностной схемой. Если решение сис­темы разностных уравнений существует и при измельчении сетки стремится к решению поставленной задачи (т.е. сходится), то оно и является искомым численным решением краевой задачи.

При разработке конечно-разностного аналога конкретной задачи тепломассопереноса необходимо рассмотреть, как выб­рать сетку и построить разностную схему, определить точность аппроксимации исходной задачи разностной схемой, проверить устойчивость разностной схемы и выяснить скорость сходимости решения разностной задачи к решению исходной задачи тепло­массопереноса.

Основное содержание МКР рассмотрим на примере одномер­ного уравнения теплопроводности; распространение полученных результатов на другие задачи тепломассопереноса не вызывает принципиальных затруднений.

Исходные данные:

Шаг сетки h: 0,25

Число Био bi: 10

Число Пекле Ре: 9

Расчетные данные:

№	Точные значения узловых температур	Схема с разностью	Схема экспоненциальная
Центральной	Прямой	Левой
Узл. температура	Погрешность	Узл. температура	Погрешность	Узл. температура	Погрешность	Узл. Температура	Погрешность
	0,001	0,001	27,8	0,002	140,2	0,000	-58,0	0,025	2572,0
	0,002	0,002	18,3	0,004	146,0	0,000	-74,6	0,033	2004,2
	0,002	0,003	16,8	0,006	133,9	0,001	-64,0	0,042	1590,7
	0,004	0,005	15,4	0,009	119,6	0,001	-64,6	0,054	1260,1
	0,006	0,007	14,0	0,013	105,7	0,003	-59,8	0,069	994,2
	0,010	0,011	12,7	0,019	92,7	0,004	-57,1	0,088	780,3
	0,016	0,018	11,3	0,028	80,4	0,007	-52,9	0,112	608,2
	0,025	0,028	10,0	0,042	69,0	0,013	-49,0	0,142	469,8
	0,040	0,043	8,7	0,063	58,3	0,022	-44,4	0,182	358,4
	0,063	0,068	7,4	0,093	48,2	0,038	-39,6	0,232	268,8
	0,100	0,106	6,2	0,138	38,8	0,066	-34,3	0,296	196,7
	0,158	0,166	4,9	0,206	30,0	0,113	-26,5	0,377	138,7
	0,251	0,260	3,6	0,305	21,7	0,195	-22,3	0,482	92,0
	0,398	0,407	2,4	0,453	14,0	0,336	-15,5	0,614	54,5
	0,631	0,638	1,2	0,673	6,8	0,580	-8,1	0,784	24,3
Средняя кв. погрешность	12,7	86,8	48,7	1071,1

 

Вывод:

В данной работе были изучены методы конечных разностей. В ходе, которой были заданы исходные данные преподавателем и были сняты расчетные данные. Все расчетные данные обработаны и занесены в таблицу.