Контрольная работа №1 по математике (линейная алгебра и аналитическая геометрия) для студентов физико-технического ф-та (з/о, 1 курс) 2012/13 г.

Контрольная работа №1 по математике (линейная алгебра и аналитическая геометрия) для студентов физико-технического ф-та (з/о, 1 курс) 2012/13 г.

Работа выполняется в отдельной тонкой тетради. Пояснения (краткие) к применяемым методам, формулам и т.п. необходимы.

V₁, V₂ – числа, равные последней и предпоследней цифрам номера зачётной книжки студента. Цифры ноль заменять числом 10. Запись 8 V₁ здесь и далее в тексте означает 8 умножить на V₁.

1. Выполнить задание своего варианта (по последней цифре № зачётной книжки) и сделать к нему чертёж (рисунок).

1.1. Найти центр масс однородной плоской пластинки, имеющей форму треугольника с вершинами А(2, 4), В(0, 1) и С(4, -2).

1.2. Точки А(0, 2), В(3, 0) и С(2, 4) являются вершинами треугольника. Найти уравнение высоты, проведённой из вершины А.

1.3. Найти расстояние между прямыми 3x +4y − 12 =0 и 6x + 8y + 5 =0.

1.4. При каких x и y треугольник с вершинами A(2, −1), B(4, 2) и C(x, y) будет равносторонним.

1.5. Найти площадь четырёхугольника с вершинами A(1, 5), B(2, 7), C(4, 11) и D(5. 7).

1.6. Точки А(0, 2), В(3, 0) и С(2, 4) являются серединами сторон треуголь­ника. Найти его площадь.

1.7. Найти угол между прямой 3x +4y − 12 =0 и прямой, проходящей через точки А(0, 2) и В(3, 4).

1.8. Составить уравнение гипотенузы прямоугольного треугольника, про­ходящей через точку M(2, 3), если катеты лежат на осях координат, а площадь треугольника равна 12 кв.ед.

1.9. Найти координаты центра и радиус окружности 2x² +2y² −8x+6y =0.

1.10. Составить уравнение для множества точек, равноудалённых от точек А(-4, 3) и В(2, 5)

2. Треугольная пирамида задана координатами своих вершин A, B, C, D. По указанным значениям координат для своего варианта требуется определить: а). Расстояние между вершинами A и С; б). Угол между рёбрами AС и CD;
в). Уравнение прямой для ребра AB; г). Площадь треугольника ABC;
д). Уравнение плоскости для грани ACD; е). Объём пирамиды ABCD.

2.1. A(1,-1,2); B(0,3,-1); C(1,-2,2); D(1,2,4)

2.2. A(0,4,-1); B(-1,3,1); C(2,-2,1); D(2,4,1)

2.3. A(1,1,-2); B(-1,3,0); C(3,-2,0); D(3,1,2)

2.4. A(-1,1,2); B(-2,3,1); C(4,-2,0); D(4,1,1)

2.5. A(0,-1,2); B(3,-3,4); C(1,-2,4); D(5,1,1)

2.6. A(2,-1,2); B(4,-3,1); C(0,-2,3); D(4;1,2)

2.7. A(1,1,-2); B(-2,3,2); C(0,-1,4); D(3,1,3)

2.8. A(3,-1,2); B(-1,3,1); C(1,2,-4); D(2,1,4)

2.9. A(1,-1,2); B(2,-3,1); C(1,-2,4); D(1,1,0)

2.10. A(-1,1,2); B(1,2,-2); C(0,-2,0); D(1,0,1)

3. Предприятие выпускает продукцию четырёх видов, используя сырьё трёх типов. Нормы расхода сырья заданы матрицей A = (a_ij), где a_ij произвольные различные числа от 20 до 40 (выбрать самостоятельно), означающие количество сырья i ^{– го} типа, идущего на производство единицы продукции j ^{– го} вида. План выпуска продукции задан вектором
p = (205; 20v₁ ; 320; 25v₂). Стоимость единиц сырья - вектор
c = (40; 10v₂; 50). Определить затраты сырья для планового выпуска продукции и общую стоимость сырья.

4. Завод собирает автомобили. Среди новых автомобилей 6 V₁ % требуют наладки, 3 V₂ % требуют ремонта, а остальные практически исправны. Статистика показывает, что через год 20% тех автомобилей, которые прошли наладку, снова будут в ней нуждаться, 30% потребуют ремонта, остальные пока будут исправными. Среди тех автомобилей, что уже ремонтировались, 25% будут нормально работать, 35% потребуют наладки, а остальные снова потребуют ремонта. Из тех же, что были изначально исправными, 40% будут по-прежнему исправными, 25% потребуют наладки, а остальные ремонта.
Требуется получить матрицу перехода и определить доли автомобилей, которые через 1 год и через 2 года будут или нормально работать, или потребуют наладки, или потребуют ремонта.

5. Решить систему линейных уравнений (m = n = 3) с матрицей коэффициентов А и вектором правых частей y двумя способами – по методам Крамера и Гаусса.

A = y = (2 v₁; 20; 4 v₂); v = v₁ /2 + v₂ /10.