Задание 3. Статистическая проверка статистических гипотез. Приведено эмпирическое распределение дискретной случайной величины в виде таблицы
Приведено эмпирическое распределение дискретной случайной величины в виде таблицы. Случайная величина имеет смысл числа отказов. Частоты наблюдений отказов обозначены . Используя критерий , проверить на уровне значимости гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона.
Решение. Дана таблица
Найдем объем выборки по формуле . Число описывает число групп данных, приведенных в таблице наблюдений. Вычислим оценку параметра распределения в законе для редких событий Пуассона . Формула Пуассона закона распределения вероятностей имеет следующий вид , где – число появлений заданного события, в нашем примере это число отказов. Проведем расчеты вероятностей . Найдем теоретические частоты , применяя расчетную формулу , в которой величина означает номер группы данных в таблице отказов. Подставим теоретические частоты в таблицу расчета эмпирического критерия Пирсона
Эмпирический критерий находится путем суммирования данных, размещенных в последнем столбце таблицы расчета критерия Пирсона , где – общее число значимых групп данных. Воспользуемся таблицами теоретического распределения, которое является функцией двух переменных ( – уровня значимости и числа степеней свободы ) Поскольку выполнено неравенство , то статистическую гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по закону редких событий Пуассона следует отвергнуть. При этом риск отвергнуть правильную гипотезу равен уровню значимости, т.е. в примере этот риск равен пяти процентам.
Задание 4. Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения
Найти с надежностью доверительный интервал оценки неизвестного математического ожидания для нормально распределенного признака , если даны значения: генеральное среднее квадратичное отклонение ; выборочное среднее ; объем выборки . Решение. Неизвестное математическое ожидание находится в интервале . Последняя в записи формула обозначает уравнение относительно t, содержащее функцию Лапласа : , Применяя таблицы функции Лапласа, находим неизвестное значение параметра . Определим величину . Найдем доверительный интервал . Доверительный интервал покрывает математическое ожидание для нормально распределенной случайной величины с заданной величиной надежности , которая называется также доверительной вероятностью. В данной задаче доверительная вероятность равна 0,99 или 99%.
|