Теоретическое введение. Парная регрессия – уравнение связи двух переменных y и x: , где y – зависимая переменная (результативный признак); x – независимая

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных y и x: , где y – зависимая переменная (результативный признак); x – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия: y = a + bx + e.

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

· полиномы разных степеней y = a + b₁x + b₂x² + b₃x³ + e;

· равносторонняя гипербола .

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

· степенная ;

· показательная ;

· экспоненциальная .

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от теоретических минимальна, т.е.

.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b:

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

.

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии :

и индекс корреляции – для нелинейной регрессии :

.

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а так же средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчётных значений от фактических:

.

Доступный предел значений - не более 8-10%.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака y характеризует коэффициент (индекс) детерминации R²:

.

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.