Одноканальная модель СМО с ожиданием

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью l. Интенсивность потока обслуживания равна m (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать m обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 5.2.

Рис. 0.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием
(схема гибели и размножения)

 

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S₀ –­­ «канал свободен»;

S₁ ­–­­­ «канал занят» (очереди нет);

S₂ – «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

S_k – «канал занят» (k-1 заявокстоит в очереди);

S _m+1 – «канал занят» (m заявок стоит в очереди).

Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

Пользуясь уравнениями для процесса гибели и размножения получим:

(0.1)

 

где – приведенная интенсивность (плотность) потока;

Тогда вероятность что занят 1 канал и k-1 мест в очереди:

 

Следует отметить, что выполнение условия стационарности < 1 для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать m), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением .

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной m:

вероятность отказа в обслуживании заявки;

; (0.2)

 

относительная пропускная способность системы:

 

; (0.3)

 

абсолютная пропускная способность:

 

А = ql; (0.4)

 

среднее число заявок, находящихся в очереди:

 

; (0.5)

 

среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

 

(0.6)

 

среднее число заявок, находящихся в системе(связанных с СМО):

 

; (0.7)

 

среднее время пребывания заявки в системе:

 

Т_сист.= Т_ож. + t_об; (0.8)

 

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

 

. (0.9)

 

Если имеется неограниченное число мест ожидания в очереди m, то вышеуказанные формулы справедливы только при ρ < 1, так как при ρ 1 нет установившегося режима (очередь неограниченно растет) и при q=1, A=λq=λ;.