Задача №12. Механическая система состоит из прямоугольной плиты массой , движущейся в вертикальной плоскости вдоль горизонтальных направляющих с начальной скоростью

Механическая система состоит из прямоугольной плиты массой , движущейся в вертикальной плоскости вдоль горизонтальных направляющих с начальной скоростью , и груза массой . Груз начинает движение из центра масс плиты вдоль жёлоба по закону = м. На рис.16 груз показан в положении > 0 (при < 0 груз находится по другую сторону от точки ).

Пренебрегая всеми сопротивлениями движению, определить: перемещение плиты за время с; нормальную реакцию горизонтальных направляющих при с.

Решение. На рис.16 плита и груз показаны в момент времени . Оси координат проведём так, чтобы при ось проходила через центр плиты . Здесь – силы тяжести плиты и груза; реакция горизонтальных направляющих; вектор скорости плиты; координата центра масс плиты;

– координата груза . Обозначим через координату центра масс систе-

мы. Масса системы M = m₁+m₂ = 24 кг. Координата центра масс системы определяется по формуле:

,

24 = 18 + 6 2,60 sin(πt²/2) = 24 2,60 sin(πt²/2).

Отсюда

0,108 sin(πt²/2). (3)

Проекция скорости центра масс на ось будет

0,108 πt cos(πt²/2). (4)

По теореме о движении центра масс системы в проекции на ось :

или .

Интегрируя дважды это выражение, получим:

, . (5)

Приравниваем, соответственно, правые части (3), (4) и (5):

0,108 sin(πt²/2) = 0,108 πt cos(πt²/2) = . (6)

Определим постоянные интегрирования по начальным условиям: (0) 2м/с, (0) = 0. Подставляя эти значения в (6), найдём: 2м/с, . Заменив в (6) их значениями, получим выражение для скорости плиты и её закон движения:

0,108 πt cos(πt²/2), 0,108 sin(πt²/2).

Перемещение плиты в момент времени с будет

2,108 м ≈ 2,11 м.

Определим нормальную реакцию горизонтальных направляющих. Координата центра масс системы определяется по формуле:

, (7)

где координата центра масс плиты при движении плиты не меняется, координата груза 0,25 sin(πt²/2).

Теорема о движении центра масс системы в проекции на ось :

. (8)

Дважды продифференцируем уравнение (7):

,

. (9)

Приравнивая правые части (8) и (9), найдём реакцию :

.

В момент времени с

=

Н.

Ответ: м; Н.