Приложения определенного интеграла

4.1. Площадь плоской криволинейной трапеции.

 

Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

 

Решение. Построим фигуру, площадь которой надо вычислить. Одной из линий является параболой с вершиной в точке С с координатами (3;4). Вторая линия - прямая.

 

Найдем координаты точек пересечения данных линий:

Для этого решаем систему уравнений , ее решением являются точки A(2;3), B(5;0).

Фигура ACB не является криволинейной трапецией, поэтому для вычисления площади данной фигуры рассмотрим разность площадей двух криволинейных трапеций: FACB и FAB.

Для вычисления площадей воспользуемся формулой:

, где a и b это пределы, в которых изменяется переменная х. В данном случае для обеих фигур a=2, b=5. Из чертежа видно, что для фигуры FACB . Вычислим площадь этой фигуры:

Для фигуры FAB , следовательно, имеем:

.

Площадь искомой фигуры будет равна: .

 

Пример 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .

Решение. Построим данную кривую.

Полярные координаты точек кривой получаются заданием значений угла и вычислением значений из равенства . Положение точки А на плоскости в полярной системе координат определяют расстоянием от полюса 0 до точки и углом , образованным отрезком ОА с полярной осью.

Вычислим площадь данной фигуры по формуле: , где и пределы, в которых лежит данная фигура. В нашем случае .

Подставляя все эти величины в формулу, получаем:

.

 

4.2. Вычисление длины дуги кривой.

Пример 15. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат.

Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y.

Построим график и найдем точки пересечения с осями координат:

Длина дуги вычисляется по формуле .

Для данной задачи .

Подставляя все эти значения в формулу, получаем: