Задания на контрольную работу

по разделу «Математика»

 

Вариант 1

1. Даны два множества: А = {6 k + 1½ k = 0, 1, 2,…} и B = {3 m + 4½ m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А È В; б) А Ç В; в) В \ А;г) А \ В; д) А ∆ В.

2. Даны два множества: А = {1, 3} и B = {2, 4, 5, 6}. Найти декартово произведение: а) А ´ В; б) В ´ А.

3. Даны три множества: А - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 96 множеству D = (А \ В) È (А Ç C) È (B Ç C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.

4. Среди 24 студентов одним английским языком владеют 15 человек, немецким и английским - 2 человека. Не владеет (например, изучал французский или испанский) ни английским, ни немецким - 1 человек. Сколько студентов владеет только немецким языком?

5. Если N – множество натуральных чисел, М - множество положительных чисел, Р - множество простых чисел, Q - множество положительных нечётных чисел. Указать истинность высказываний: а) ; б) ; в) ; г) .

6. Даны два множества: А = {6 k + 1½ k = 0, 1, 2,…} и B = {3 m + 4½ m = 0, 1, 2,…}. Установите, является ли соответствие f: A ® B, заданное формулой , взаимно однозначным.

7. Найти область определения функции .

8. Найти предел функции при х ® ¥.

9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Все х являются у и ни одно х не является z; значит, все у не являются z»?

10. Построить таблицу истинности для высказывания

.

11. Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо следующее равенство:

.

12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)^-1 при

А = В = С = .

13. Найдите производную функции .

14. Вычислите интеграл .

15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 21,48₍₁₀₎ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.

 

Вариант 2

1. Даны два множества: А = {2 k + 1½ k = 0, 1, 2,…} и B = {3 m ½ m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А È В; б) А Ç В; в) В \ А;г) А \ В; д) А ∆ В.

2. Даны два множества: А = {2, 3} и B = {1, 2, 3, 4}. Найти декартово произведение: а) А ´ В; б) В ´ А.

3. Даны три множества: А - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 105 множеству D = (А \ В) È (А Ç C) È (B Ç C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.

4. В группе 30 студентов. Все, кроме двух, по итогам экзаменационной сессии имеют оценки «удовлетворительно» («3»), «хорошо» («4») и «отлично» («5»). Число студентов, имеющих оценки «5» - двенадцать, «4» - четырнадцать, «3» - шестнадцать. Трое учатся лишь на «5» и «3», трое – лишь на «5» и «4» и четверо – лишь на «4» и на «3». Сколько студентов сдали экзаменационную сессию только на «5»?

5. Если N – множество натуральных чисел, М - множество положительных чисел, Р - множество простых чисел, Q - множество положительных нечётных чисел. Указать истинность высказываний: а) ; б) ; в) ; г) .

6. Даны два множества: А = {2 k + 1½ k = 0, 1, 2,…} и B = {3 m ½ m = 0, 1, 2,…}. Установите, является ли соответствие f: A ® B, заданное формулой , взаимно однозначным.

7. Найти область определения функции .

8. Найти предел функции при х ® ¥.

9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Все х не являются у и некоторые х являются z; значит, все у не являются z»?

10. Построить таблицу истинности для высказывания

.

11. Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо следующее равенство:

.

12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)^-1 при

А = В = С = .

13. Найдите производную функции .

14. Вычислите интеграл .

15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 17,24₍₁₀₎ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.

 

Вариант 3

1. Даны два множества: А = {3 k + 3½ k = 0, 1, 2,…} и B = { m + 2½ m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А È В; б) А Ç В; в) В \ А;г) А \ В; д) А ∆ В.

2. Даны два множества: А = {1, 4} и B = {2, 3, 5, 6}. Найти декартово произведение: а) А ´ В; б) В ´ А.

3. Даны три множества: А - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 126 множеству D = (А \ В) È (А Ç C) È (B Ç C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.

4. Из 220 студентов 163 играют в баскетбол, 175 - в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько человек одновременно играет в баскетбол и футбол?

5. Если N – множество натуральных чисел, М - множество положительных чисел, Р - множество простых чисел, Q - множество положительных нечётных чисел. Указать истинность высказываний: а) ; б) ; в) ; г) .

6. Даны два множества: А = {3 k + 3½ k = 0, 1, 2,…} и B = { m + 2½ m = 0, 1, 2,…}. Установите, является ли соответствие f: A ® B, заданное формулой , взаимно однозначным.

7. Найти область определения функции .

8. Найти предел функции при х ® ¥.

9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Ни одно х не является у и некоторые у являются z; значит, некоторые z не являются x»?

10. Построить таблицу истинности для высказывания

.

11. Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо следующее равенство:

.

12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)^-1 при

А = В = С = .

13. Найдите производную функции .

14. Вычислите интеграл .

15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 23,81₍₁₀₎ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.

 

Вариант 4

1. Даны два множества: А = {6 k + 5½ k = 0, 1, 2,…} и B = {3 m + 2½ m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А È В; б) А Ç В; в) В \ А;г) А \ В; д) А ∆ В.

2. Даны два множества: А = {3, 5} и B = {2, 4, 6,7}. Найти декартово произведение: а) А ´ В; б) В ´ А.

3. Даны три множества: А - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 210 множеству D = (А \ В) È (А Ç C) È (B Ç C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.

4. В группе 30 студентов. Все, кроме трёх, по итогам экзаменационной сессии имеют оценки «удовлетворительно» («3»), «хорошо» («4») и «отлично» («5»). Число студентов, имеющих оценки «5» - одиннадцать, «4» - четырнадцать, «3» - семнадцать. Трое учатся лишь на «5» и «3», трое – лишь на «5» и «4» и четверо – лишь на «4» и на «3». Сколько студентов сдали экзаменационную сессию только на «3»?

5. Если N – множество натуральных чисел, М - множество положительных чисел, Р - множество простых чисел, Q - множество положительных нечётных чисел. Указать истинность высказываний: а) ; б) ; в) ; г) .

6. Даны два множества: А = {6 k + 5½ k = 0, 1, 2,…} и B = {3 m + 2½ m = 0, 1, 2,…}. Установите, является ли соответствие f: A ® B, заданное формулой , взаимно однозначным.

7. Найти область определения функции .

8. Найти предел функции при х ® ¥.

9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Некоторые х являются у и некоторые у являются z; значит, некоторые z не являются x»?

10. Построить таблицу истинности для высказывания

.

11. Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо следующее равенство:

.

12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)^-1 при

А = В = С = .

13. Найдите производную функции .

14. Вычислите интеграл .

15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 24,26₍₁₀₎ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.

 

Вариант 5

1. Даны два множества: А = {2 k ½ k = 0, 1, 2,…} и B = { m + 2½ m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А È В; б) А Ç В; в) В \ А;г) А \ В; д) А ∆ В.

2. Даны два множества: А = {1, 5} и B = {2, 3, 4, 6}. Найти декартово произведение: а) А ´ В; б) В ´ А.

3. Даны три множества: А - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 280 множеству D = (А \ В) È (А Ç C) È (B Ç C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.

4. В группе 30 студентов. Все, кроме двух, по итогам экзаменационной сессии имеют оценки «удовлетворительно» («3»), «хорошо» («4») и «отлично» («5»). Число студентов, имеющих оценки «5» - двенадцать, «4» - четырнадцать, «3» - шестнадцать. Трое учатся лишь на «5» и «3», трое – лишь на «5» и «4» и четверо – лишь на «4» и на «3». Сколько студентов имеют одновременно оценки «5», «4» и «3»?

5. Если N – множество натуральных чисел, М - множество положительных чисел, Р - множество простых чисел, Q - множество положительных нечётных чисел. Указать истинность высказываний: а) ; б) ; в) ; г) .

6. Даны два множества: А = {2 k ½ k = 0, 1, 2,…} и B = { m + 2½ m = 0, 1, 2,…}. Установите, является ли соответствие f: A ® B, заданное формулой , взаимно однозначным.

7. Найти область определения функции .

8. Найти предел функции при х ® ¥.

9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Если некоторые у являются х, некоторые у являются z и некоторые z являются х, то некоторые х одновременно являются и у, и z»?

10. Построить таблицу истинности для высказывания

.

11. Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо следующее равенство:

.

12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)^-1 при

А = В = С = .

13. Найдите производную функции .

14. Вычислите интеграл .

15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 15,34₍₁₀₎ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.

 

Вариант 6

1. Даны два множества: А = {4 k + 1½ k = 0, 1, 2,…} и B = {3 m + 5½ m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А È В; б) А Ç В; в) В \ А;г) А \ В; д) А ∆ В.

2. Даны два множества: А = {1, 3, 4} и B = {2, 4, 5}. Найти декартово произведение: а) А ´ В; б) В ´ А.

3. Даны три множества: А - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 315 множеству D = (А \ В) È (А Ç C) È (B Ç C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.

4. В группе 30 студентов. Все, кроме трёх, по итогам экзаменационной сессии имеют оценки «удовлетворительно» («3»), «хорошо» («4») и «отлично» («5»). Число студентов, имеющих оценки «5» - двенадцать, «4» - тринадцать, «3» - шестнадцать. Трое учатся лишь на «5» и «3», трое – лишь на «5» и «4» и четверо – лишь на «4» и на «3». Сколько студентов сдали экзаменационную сессию только на «4»?

5. Если N – множество натуральных чисел, М - множество положительных чисел, Р - множество простых чисел, Q - множество положительных нечётных чисел. Указать истинность высказываний: а) ; б) ; в) ; г) .

6. Даны два множества: А = {4 k + 1½ k = 0, 1, 2,…} и B = {3 m + 5½ m = 0, 1, 2,…}. Установите, является ли соответствие f: A ® B, заданное формулой , взаимно однозначным.

7. Найти область определения функции .

8. Найти предел функции при х ® ¥.

9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Если все у являются х, некоторые у являются z и некоторые z являются х, то некоторые х одновременно являются и у, и z»?

10. Построить таблицу истинности для высказывания

.

11. Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном п справедливо следующее равенство:

.

12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)^-1 при

А = В = С = .

13. Найдите производную функции .

14. Вычислите интеграл .

15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 26,17₍₁₀₎ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.

 

Вариант 7

1. Даны два множества: А = {2 k + 3½ k = 0, 1, 2,…} и B = {3 m ½ m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А È В; б) А Ç В; в) В \ А;г) А \ В; д) А ∆ В.

2. Даны два множества: А = {2, 3, 5} и B = {2, 4, 6}. Найти декартово произведение: а) А ´ В; б) В ´ А.

3. Даны три множества: А - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 390 множеству D = (А \ В) È (А Ç C) È (B Ç C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.

4. Из 64 студентов на вопрос, занимаются ли они в свободное время спортом, утвердительно ответили 40 человек; на вопрос, любят ли они слушать музыку, 30 человек ответили утвердительно. Причём 21 студент занимаются спортом и любят слушать музыку. Сколько человек не увлекается ни спортом, ни музыкой?

5. Если N – множество натуральных чисел, М - множество положительных чисел, Р - множество простых чисел, Q - множество положительных нечётных чисел. Указать истинность высказываний: а) ; б) ; в) ; г) .

6. Даны два множества: А = {2 k + 3½ k = 0, 1, 2,…} и B = {3 m ½ m = 0, 1, 2,…}. Установите, является ли соответствие f: A ® B, заданное формулой , взаимно однозначным.

7. Найти область определения функции .

8. Найти предел функции при х ® 0.

9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Все х являются у и некоторые х являются z; значит, все у являются z»?

10. Построить таблицу истинности для высказывания

.

11. Числовая последовательность а ₀, а ₁, а ₂, …, а_п, … определяется следующими условиями: а ₀ = 1, а_{п +1} = 2× а_п + 1. Доказать методом математической индукции, что а_п = 2 ^{n +1} – 1 при всех натуральных п.

12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)^-1 при

А = В = С = .

13. Найдите производную функции .

14. Вычислите интеграл .

15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 17,84₍₁₀₎ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.

 

Вариант 8

1. Даны два множества: А = {3 k + 4½ k = 0, 1, 2,…} и B = { m + 4½ m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А È В; б) А Ç В; в) В \ А;г) А \ В; д) А ∆ В.

2. Даны два множества: А = {3, 5} и B = {1, 2, 5, 6}. Найти декартово произведение: а) А ´ В; б) В ´ А.

3. Даны три множества: А - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 420 множеству D = (А \ В) È (А Ç C) È (B Ç C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.

4. Из 20 студентов двое могут играть только в шахматы, трое – только в шашки, шестеро – только в футбол. Никто не умеет играть во все три игры. Один играет в шахматы и шашки, трое - в футбол и шахматы. Сколько студентов умеет играть в футбол и шашки?

5. Если N – множество натуральных чисел, М - множество положительных чисел, Р - множество простых чисел, Q - множество положительных нечётных чисел. Указать истинность высказываний: а) ; б) ; в) ; г) .

6. Даны два множества: А = {3 k + 4½ k = 0, 1, 2,…} и B = { m + 4½ m = 0, 1, 2,…}. Установите, является ли соответствие f: A ® B, заданное формулой , взаимно однозначным.

7. Найти область определения функции .

8. Найти предел функции при х ® 0.

9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Некоторые х являются у и все х являются z; значит, некоторые у являются z»?

10. Построить таблицу истинности для высказывания

.

11. Числовая последовательность а ₁, а ₂, …, а_п, … определяется следующими условиями: а ₁ = 2, а_{п +1} = 3× а_п + 1. Доказать методом математической индукции, что а_п = (5×3 ^{n -1} – 1) при всех натуральных п.

12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)^-1 при

А = В = С = .

13. Найдите производную функции .

14. Вычислите интеграл .

15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 18,37₍₁₀₎ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.

 

Вариант 9

1. Даны два множества: А = {5 k + 1½ k = 0, 1, 2,…} и B = { m + 1½ m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А È В; б) А Ç В; в) В \ А;г) А \ В; д) А ∆ В.

2. Даны два множества: А = {1, 3, 7} и B = {4, 5, 6}. Найти декартово произведение: а) А ´ В; б) В ´ А.

3. Даны три множества: А - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 504 множеству D = (А \ В) È (А Ç C) È (B Ç C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.

4. Среди 35 студентов одним английским языком владеют 11 человек, английским и французским – 5 человек. Не владеют ни английским, ни французским 9 человек. Сколько студентов владеет французским языком?

5. Если N – множество натуральных чисел, М - множество положительных чисел, Р - множество простых чисел, Q - множество положительных нечётных чисел. Указать истинность высказываний: а) М = ; б) Р = ; в) ; г) .

6. Даны два множества: А = {5 k + 1½ k = 0, 1, 2,…} и B = { m + 1½ m = 0, 1, 2,…}. Установите, является ли соответствие f: A ® B, заданное формулой , взаимно однозначным.

7. Найти область определения функции .

8. Найти предел функции при х ® 0.

9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Все х являются у и некоторые у являются z; значит, все z не являются х»?

10. Построить таблицу истинности для высказывания

.

11. Числовая последовательность а ₀, а ₁, а ₂, …, а_п, … определяется следующими условиями: а ₀ = 2, а ₁ = 3, а_{п +1} = a ₁ × а_п – а ₀ × а_{п -1}. Доказать методом математической индукции, что а_п = 2 ⁿ + 1 при всех натуральных п.

12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)^-1 при

А = В = С = .

13. Найдите производную функции .

14. Вычислите интеграл .

15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 29,26₍₁₀₎ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.

 

Вариант 10

1. Даны два множества: А = { k + 3½ k = 0, 1, 2,…} и B = { m + 2½ m = 0, 1, 2,…}. Найти: а) А È В; б) А Ç В; в) В \ А;г) А \ В; д) А ∆ В.

2. Даны два множества: А = {7, 8} и B = {2, 4, 5, 6}. Найти декартово произведение: а) А ´ В; б) В ´ А.

3. Даны три множества: А - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 630 множеству D = (А \ В) È (А Ç C) È (B Ç C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.

4. В группе 30 студентов. Все, кроме двух, по итогам экзаменационной сессии имеют оценки «удовлетворительно» («3»), «хорошо» («4») и «отлично» («5»). Число студентов, имеющих оценки «5» - двенадцать, «4» - четырнадцать, «3» - шестнадцать. Двое учатся одновременно на «5», «4» и «3», трое – лишь на «5» и «4» и четверо – лишь на «4» и на «3». Сколько студентов имеет только оценки «5» и «3»?

5. Если N – множество натуральных чисел, М - множество положительных чисел, Р - множество простых чисел, Q - множество положительных нечётных чисел. Указать истинность высказываний: а) М = ; б) Р = ; в) ; г) .

6. Даны два множества: А = { k + 3½ k = 0, 1, 2,…} и B = { m + 2½ m = 0, 1, 2,…}. Установите, является ли соответствие f: A ® B, заданное формулой , взаимно однозначным.

7. Найти область определения функции .

8. Найти предел функции при х ® 0.

9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Все х являются у и все у являются z; значит, некоторые z являются х»?

10. Построить таблицу истинности для высказывания

.

11. Доказать методом математической индукции, что неравенство выполняется при всех натуральных п > 3.

12. Найти обратную подстановку произведения (АВС)^-1 при

А = В = С = .

13. Найдите производную функции .

14. Вычислите интеграл .

15. Переведите с точностью до 5 знаков после запятой число 15,18₍₁₀₎ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему.

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по разделу «Математика»

 

При подготовке контрольной работы по разделу «Математика» необходимо придерживаться следующих рекомендаций.

Во-первых, можно пользоваться любыми доступными изданиями по высшей математике, раскрывающими соответствующие темы. Список рекомендуемой литературы приведён в приложении 4.

Во-вторых, о логике изложения. Решение задач должно быть логически стройным, т.е. содержать однозначную минимальную последовательность операций, обеспечивающую получение для заданных исходных данных искомого результата. Сопутствующие сведения, затрудняющие понимание главного, опускаются. Это в равной мере относится как к тексту, так и к иллюстрациям.

В-третьих, о способе решения. Большая часть задач контрольной работы по разделу «Математика» (№№ 1, 3, 4, 5, 6, 9) ориентирована на использование математического аппарата теории множеств. Поэтому будет уместной иллюстрация решения таких задач с помощью диаграмм Венна.

Проиллюстрируем эту рекомендацию примером выполнения задач данного типа.

Задача 1. Даны два множества: А = {6 k + 5ï k = 0, 1, 2, …} и B = {3 m + 2 ï m = 0, 1, 2, …}. Найти: а) А È В; б) А Ç В; в) В \ А; г) А \ В; д) A ∆ B.

Решение

Определим, какие элементы принадлежат множествам:

А = {5, 11, 17, 23, 29, …}; B = {2, 5, 8, 11, 14, 17, …}.

Проиллюстрируем данные множества с помощью диаграмм Венна:

 

 

Найдём объединение, пересечение, разность и симметрическую разность множеств:

а) А È В = В;

б) А Ç В = А;

в) В \ А = {2, 8, 14, 20, … } = {6 k + 2 ï k = 0, 1, 2, …};

г) А \ В = Æ;

д) A ∆ B = {2, 8, 14, 20, …} = {6 k + 2 ï k = 0, 1, 2, …}.

Задача 3. Даны три множества: А - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 6; B - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 10; С - множество натуральных чисел, делящихся нацело на 21. Определить, принадлежит ли число s = 420 множеству D = (А \ В) È (А Ç C) È (B Ç C)? Показать это число на диаграмме Венна, иллюстрирующей множество D.

Решение

Определив делимость числа 420 на 6, 10, 21, установим его принадлежность заданным множествам: 420 Î А, 420 Î В, 420 Î С. Отметив факт принадлежности числа множеству знаком «+», заполним табл. 1. Результат - в последнем столбце первой строки табл. 1.

Таблица 1

s	А	В	С	А \ В	А Ç C	B Ç C	D
	+	+	+	-	+	+	+

Из диаграммы Венна (рис. 1) заключаем, что множество D изображается объединением заштрихованных областей, а число 420 принадлежит области пересечения множеств А, В и С.

 

Рис. 1

Задача 4. Из 20 студентов двое могут играть только в шахматы, трое – только в шашки, шестеро – только в футбол. Никто не умеет играть во все три игры. Один играет в шахматы и шашки, трое - в футбол и шахматы. Сколько студентов умеют играть в футбол и шашки?

Решение

Обозначим через А множество студентов, играющих в шахматы, через В - в шашки, через С - в футбол.

По условию задачи: | А È В È С | = 20, | А Ç В | = 1, | А Ç С | =3, А Ç В Ç С = = Æ (никто не умеет играть сразу в три игры). Требуется определить количество элементов в пересечении В Ç С.

Изобразим эти множества на диаграмме Венна (рис. 2).

Из диаграммы видно, что множество В Ç С должно содержать 20 – 1 – 2 – 3 – 6 – 3 = 5. Значит, играть в футбол и шашки умеют 5 студентов.

 

 

Рис. 2

Задача 5. Если N – множество натуральных чисел, М - множество положительных чисел, Р - множество простых чисел, Q - множество положительных нечётных чисел. Указать истинность высказываний: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение

Для указанных множеств справедливо: , Графическая иллюстрация:

 

 

Тогда

а) , , т.е. ложно;

б) , , т.е. истинно;

в) , , , т.е. ложно;

г) , , т.е. ложно.

Задача 6. Даны два множества: А = {2 k ï k = 0, 1, 2, …} и B = {2 m + 1ï m = 0, 1, …}. Установите, является ли соответствие f: A ® B, заданное формулой b = a +1, взаимно однозначным.

Решение

Проиллюстрируем возможность установления взаимного однозначного соответствия:

 

	Является.

 

Задача 9. Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Все х являются у и ни одно х не является z; значит, все у не являются z»?

Решение

Построим диаграммы Венна, характеризующие посылки и заключение:

 

Из рис. видно, что возможно неверное заключение, удовлетворяющее исходным посылкам. Следовательно, рассуждение не является правильным.

В-четвёртых, об использовании определений. Решение задач № 2 и № 7 предполагает практическую иллюстрацию терминов «декартово произведение множеств» и «область определения функции». Приведём соответствующие примеры.

Задача 2. Даны два множества: А = {1, 2} и B = {4, 7, 8}. Найти декартово произведение: а) А ´ В; б) В ´ А.

Решение

Декартовым (или прямым) произведением А ´ В двух множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (a, b), где а Î А, b Î В.

Тогда

А ´ В = {(1, 4), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 7), (2, 8)};

В ´ А = {(4, 1), (4, 2), (7, 1), (7, 2), (8, 1), (8, 2)}.

Задача 7. Найти область определения функции .

Решение

Под областью определения функции подразумевается естественная область определения, т.е. те значения х &