Решение. Найдем сначала стационарные точки, т.е

Найдем сначала стационарные точки, т.е. те точки, в которых частные производные одновременно равны нулю.

Изменим порядок во втором уравнении и приведем систему линейных уравнений к стандартному виду, чтобы ее можно было решить методом Крамера.

Нашли одну стационарную точку, в которой , это точка .

Выясним с помощью вторых производных, есть ли в экстремум и, если есть, какой.

Составляем определитель .

Так как , то экстремум существует. Так как , то в стационарной точке функция имеет минимум. Найдем его.

.

Ответ: .

 

Контрольные варианты к задаче 5.

Исследовать на экстремум:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

 

Элементы скалярного поля

 

Производная скалярного поля по направлению вектора

(рис.3). определяется так: – это скорость изменения скалярного поля в направлении вектора .

z

 

 

M₀

M β

α

 

0 у

 

x Рис. 3

 

Пример 9. Найти скорость изменения скалярного поля в точке в направлении от этой точки к точке .

Решение. Скорость изменения скалярного поля в направлении вектора в точке определяют по формуле

.

 

В задаче , ,

.

 

,

 

,

 

.

 

Подставим все найденные величины в первую формулу:

 

.

Ответ: В заданном направлении данное скалярное поле убывает со скоростью .

 

Градиент скалярного поля – вектор

 

.

Очевидно,

 

 

(рис. 7).

P₀ φ

 

Рис. 7

Пример 10. Найти величину градиента скалярного поля в точке .