Раздел 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Раздел 3. Условная вероятность. Независимость событий

 

1. Игральную кость бросают 1 раз. Какова вероятность того, что выпало простое число очков, если известно, что число выпавших очков нечётно? Указание. 1 – не простое число.

2. Из урны с 3 белыми и 7 чёрными шарами последовательно вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что второй вынутый шар – белый при условии: а) первый вынутый шар – белый; б) первый вынутый шар – чёрный.

 

3. Брошены последовательно 3 монеты. Определить, зависимы или независимы события:

А – выпадение «герба» на первой монете;

В – выпадение хотя бы одной «решётки».

 

4. В условии задачи 2 определить, зависимы ли события:

А – первый вынутый шар – белый;

В – второй вынутый шар – чёрный.

 

5. Имеется 3 карточки. На одной с обеих сторон написана цифра 1, на второй – с обеих сторон цифра 2. На третьей карточке на одной стороне – цифра 1, на другой стороне – цифра 2. Наугад выбирается карточка и случайной стороной кладётся на стол. Какова вероятность того, что на её невидимой стороне – цифра 1, если на её видимой стороне цифра 1?

 

6. Из колоды в 53 карты (с джокером) наугад выбирается одна карта. Событие А – выбор туза, событие В – выбор карты пиковой масти. Являются ли события А и В независимыми?

 

7. Тетраэдр (правильный многогранник, все 4 грани которого – правильные треугольники) раскрашен в 3 цвета так: одна грань – белая, вторая – красная, третья – чёрная, а четвёртая раскрашена полосками всех трёх цветов. Этот тетраэдр случайным образом бросают на стол. Событие А – тетраэдр лёг на стол гранью, содержащей белый цвет (белый или раскрашенный во все 3 цвета), событие В – лёг гранью, содержащей красный цвет, а событие С – лёг гранью, содержащей чёрный цвет. Установить, что события А, В, С попрано независимы, но зависимы в совокупности.

 

8. Студент знает 20 из 25 вопросов к зачёту. Он получает зачёт, если отвечает не менее чем на 3 вопроса из 4-х вопросов, задаваемых преподавателем. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет, если на первый заданный вопрос он ответил правильно?

 

Раздел 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком – 0,9, вторым стрелком – 0,8. Найти вероятности того, что: а) в мишени будет хотя бы одна пуля; б) в мишени будет ровно одна пуля; в) в мишень не попадёт ни одна пуля.

 

2. На 9 карточках написаны буквы слова «троглодит». Некто по очереди наугад берёт 3 карточки и в том же порядке выкладывает их слева направо. Найти вероятность того, что получится сочетание «отл».

 

3. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:

- все пассажиры выйдут на пятом этаже;

- все пассажиры выйдут на одном и том же этаже;

- все пассажиры выйдут на разных этажах.

 

4. Студент может доехать до университета или на автобусе, который ходит через каждые 20 минут, или на троллейбусе, который ходит через каждые 10 минут. Какова вероятность того, что подошедший к остановке студент уедет в ближайшие 5 минут?

 

5. В первой урне 5 белых и 10 чёрных шаров, во второй урне – 10 белых и 5 чёрных шаров. Из каждой урны случайно вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров будет хотя бы один белый.

 

6. В урне 10 белых и 6 чёрных шаров. Из урны наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что вынутые шары будут одноцветными.

 

7. Студент пришёл на зачёт, зная 24 из 30 вопросов. Какова вероятность получения им зачёта, если после отказа студента отвечать на полученный вопрос преподаватель задаёт ему ещё один вопрос?

 

8. Вероятность поражения цели при данном выстреле равна 1/3. Найти вероятность поражения цели четырьмя независимыми выстрелами. Указание: рассмотреть противоположное событие.

 

9. В связке 10 ключей, из которых данный замок открывает только один. Некто пытается открыть замок, последовательно пробуя ключи из этой связки. Найти вероятность того, что замок будет открыт при пятой попытке. Найти вероятность того, что для открывания замка потребуется не более пяти попыток.

 

10. Студент сдаёт интернет-экзамен, в который входит 3 задачи. Для сдачи экзамена требуется дать правильные ответы не менее чем на 2 задачи. Для каждой задачи даны по 5 вариантов ответа, из которых только один правильный. Студент не подготовился к экзамену и поэтому выбирает ответ для каждой задачи наугад. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен?

 

11. Бросают две игральные кости. Найти вероятности событий:

- сумма выпавших очков чётна;

- произведение выпавших очков чётно;

- на одной из костей выпало чётное число очков, а на другой – нечётное;

- ни на одной из костей не выпало шесть очков.

 

12. Четырём игрокам раздаётся поровну колода из 32 карт. Найти вероятность того, что каждый игрок получит карты только одной масти.

 

13. Прибор состоит из трёх работающих независимо друг от друга блоков, вероятности безотказной работы (в течение некоторого времени) которых равны соответственно. Найти вероятность безотказной работы прибора в целом при следующих четырёх схемах компоновки прибора из этих блоков.

 

Рисунок

 

 

14. Вероятностьбезотказной работы в течение заданного времени каждого из четырёх элементов равна р. Из этих элементов составлены две системы

 

Рисунок

 

У какой системы вероятность безотказной работы больше? Иначе говоря, что выгоднее дублировать в системе: каждый элемент отдельно или систему в целом?

 

 

15. Задача-шутка. Один математик посчитал, что вероятность того, что в пассажирском самолёте окажется террорист с бомбой, равна 0,001. Этот результат его испугал, и математик перестал летать самолётами. Но через некоторое время математик заметил, что вероятность того, что в самолёте окажутся сразу два незнакомых между собой террориста с бомбами, равна , то есть весьма мала. Теперь математик смело летает самолётами, но каждый раз берёт с собой бомбу. Прав ли этот математик?

 

16. Жюри состоит из трёх судей. Первый и второй судьи принимают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью р, а третий судья для принятия решения бросает монету. Окончательное решение жюри принимает по большинству голосов. Найти вероятность того, что жюри примет правильное решение.

17. (продолжение). Все трое членов жюри принимают независимо друг от друга правильное решение с вероятностью р. При каких значениях р данное жюри принимает правильные решения с большей вероятностью, чем жюри из предыдущей задачи?

 

18. (продолжение). Первые двое судей из жюри принимают решения так же, как в задаче 16, а третий судья поступает так: если двое первых судей принимают одинаковое решение, то он присоединяется к ним, а если решения двух первых судей разные, то третий судья бросает монету. Найти вероятность того, что это жюри примет правильное решение.

 

19. Ракетный катер, вооружённый 4 ракетами, обстреливает крейсер. Вероятность попадания в крейсер равна 0,9, попадания разными ракетами – независимые события, так как корректировки стрельбы нет. Вероятность потопления крейсера попавшей в него ракетой равна 2/3. Найти вероятность того, что ракетный катер потопит крейсер.