Пример.
Метод прямого ранжирования
Экспертные методы следует рассматривать как способ получения дополнительной информации, позволяющей уменьшить неопределенность, имеющую место при решении задач. В большинстве прикладных исследований методы экспертных оценок используются для выделения существенных (в том или ином смысле) факторов и их ранжирования. Упорядоченность критериев по важности зависит от того, с точки зрения чьих интересов ранжируются альтернативы. Следовательно, основная задача здесь — по возможности полно и четко определить эти интересы. В последнее время разработан ряд методов как для выявления предпочтений ЛПР относительно сравнительной важности критериев, так и, особенно, для учета этих предпочтений при построении ранжировки альтернатив. К наиболее распространенным методам можно отнести: · метод парных сравнений · метод множественных сравнений · прямое ранжирование критериев · стратификация критериев (обычно с использованием качественной шкалы) · прямое назначение весов (числом или интервалом чисел) критериев. При этом чаще всего применяют методы опроса, основанные на прямом (непосредственном) ранжировании, а полученные субъективные мнения обрабатывают методами ранговой корреляции. Ранжирование — процедура установления относительной значимости признаков (некоторой важности) исследуемого объекта на основе их упорядочения. Метод ранговых оценок относительно простой и удобный для получения обобщенного суждения экспертов. Он заключается в том, что любую исследуемую информацию располагают в порядке роста или убыванием величины признака. Например, список учеников в зависимости от количества пропущенных занятий. Каждому признаку приписывают число, которое обозначает его ранг. Ранг — это показатель, который характеризует порядковое место объекта, явления, события или показателей, критериев, факторов в группе других (объектов, явлений и другие). Преимущественно наиболее весомому объекту присваивается первый ранг, а наименее весомому — последний ранг. Точность и надежность ранжирования зависит в значительной степени от количества объектов. То есть чем меньше объектов, тем большая степень их различения. Итак, при ранжировании эксперт должен расставить объекты в таком порядке, который является, по его мнению, наиболее рациональным, и присвоить им ранг из ряда натуральных чисел. Пример. Пусть d экспертов произвели оценку m объектов по l показателям. Результаты оценки представлены в виде величин ( Если оценка объектов произведена методом ранжирования, то величины ( В этом случае задачей обработки является построение обобщенной ранжировки по индивидуальным ранжировкам экспертов. Для простоты рассмотрим вначале случай одного признака сравнения, поэтому индекс h у величин
где xis и xks – ранги, присваиваемые s-м экспертом i-му и k-му объектам. Пусть, например, дана ранжировка одним экспертом (s = 1).
Тогда матрица парных сравнений для этой ранжировки имеет вид:
Если имеется d экспертов, то каждый эксперт дает свою ранжировку, которой соответствует матрица сравнений. Таким образом, количество матриц парных сравнений равно числу экспертов. Введем расстояние (метрику) между матрицами парных сравнений, которое будем вычислять по формуле (метрика Хэмминга)
Используя эту метрику, определим обобщенную ранжировку как такую матрицу парных сравнений, которая наилучшим образом согласуется с матрицами парных сравнений, получаемыми из ранжировок экспертов. Понятие наилучшего согласования на практике чаще всего определяют как медиану. Медиана есть такая матрица парных сравнений, сумма расстояний от которой до всех матриц парных сравнений, получаемых экспертами, является минимальной.
Построение матрицы парных сравнений, соответствующей медиане, осуществляется по принципу простого большинства голосов экспертов для каждого элемента матрицы. Модуль разности переменных в (4.3) равен либо единице, либо нулю, поэтому модуль разности равен квадрату этой разности. Следовательно, вместо выражения (4.3) можно записать
Возводя члены в круговой скобке в квадрат, и учитывая, что квадрат переменной равен самой переменной, получаем
Суммируя вначале по индексу s и вводя обозначение
получаем из (4.5)
Первая сумма в квадратной скобке постоянна и не зависит от переменной yik. Поэтому минимум квадратной скобки в (4.7) соответствует максимуму второй суммы. Следовательно,
Максимум по переменным yik, принимающим значение 0,1, достигается при следующем правиле решения:
где d – количество экспертов. Величины aik в соответствии с (4.6) представляют собой количество голосов, поданных экспертами за предпочтение i-го объекта k-му объекту. Поэтому в обобщенной матрице парных сравнений в соответствии с оптимальными правилами решения (4.8) в ik-м элементе ставится единица, т.е. принимается что
2 Использования Calc для решения задач В результате проведения ранжировок четырех объектов пятью экспертами получены упорядочения объектов. Матрицы парных сравнений для каждого эксперта представим в виде таблиц:
В соответствии с (4.6) рассчитаем сумму матриц. Для этого в ячейку H3 введем =SUM(B3;B10;B17;B24). Ячейки (H4-H6, I3-K6) матрицы заполним копированием ячейки Н3. Получим:
По правилу (4.7) при условии, что число экспертов = 5, получаем порог d/2=2,5 и сравниваем все элементы аik в последней матрице с порогом 2,5. Для этого, в ячейку H10 введем формулу =IF(H3>=$N$10;1;0), где N10 – значение порога, равное 2,5. В результате получим обощенную матрицу парных сравнений:
В ячейку Н14 введем =SUM(H10:H13). Заполним Ячейки I14, J14 и K14, скопировав ячейку Н14. Видим, что наибольшее количество единиц расположено в третьем и четвертом столбцах, поэтому третий и четвертый объекты эквивалентны и получают первый ранг.
Второй ранг получает первый столбец, а третий и четвертый объекты эквиваленты и получают третий ранг. Следовательно, обобщенное упорядочение четырех объектов имеет вид
3 Задания для выполнения самостоятельных работ Вариант 1 В институте появилась вакансия должности зав. лабораторией. Было подано 6 заявлений, и все допущены отделом кадров к участию в конкурсе. Требуется выявить предпочтительную кандидатуру, которая затем может быть рекомендована конкурсной комиссией совету института. Конкурсной комиссией был сформирован набор требований к кандидатам: Y1 – теоретическая подготовка Y2 – знания тематики института и лаборатории Y3 – административные способности Y4 – творческая активность Y5 – прочие признаки (возраст, опыт, стаж и т.п.) Необходимо отранжировать набор требований в порядке убывания важности для проведения конкурса и определить степень важности каждого требования. Для этого проводится экспертиза с привлечением D = 4 экспертов, которые попарно сравнивают требования. Эксперт 1. Y1 Y2 Y3 Y4 Эксперт 2. Y1 Y2 Y3 Y4 ~Y5 Эксперт 3. Y1 Y2 Y3 Y4 Эксперт 4. Y1 Y2 Y3 Y4 ~Y5 Вариант 2 Необходимо испытать новый нефтепровод. Для проведения испытаний были предложены следующие варианты: X1 – испытание водой при давлении 75 атм. (проектное давление) X2 – испытание воздухом при давлении 75 атм. X3 – испытание водой при 40 атм. (проходное давление) Х4 – испытание воздухом при 40 атм. X5 – испытание нефтью при 40 атм. Необходимо найти наиболее предпочтительный вариант и отранжировать варианты по степени важности испытаний. Для решения поставленной задачи были привлечены эксперты в количестве D = 3 чел. Эксперты для решения поставленной задачи провели парные сравнения всех вариантов друг с другом. Эксперт 1
Эксперт 2
Эксперт 3
Вариант 3 Экспертам машиностроительного завода в количестве 3-х человек необходимо отранжировать мероприятия по повышению качества продукции по степени важности и определить степень важности каждого мероприятия, если список составляет 6 мероприятий. X1 – повышение качества сырья Х2 – создание премиального фонда Х3 – модернизация оборудования Х4 – повышение квалификации рабочих Х5 – сокращение управленческого аппарата Х6 – закупка лицензий Эксперты провели парные сравнения мероприятий следующим образом: Эксперт 1 Х1~Х2 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Эксперт 2 Х1 Х2 Х3 Х4 Эксперт 3 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5~Х6 Вариант 4 Перед руководителем фирмы стоит задача выбора важнейших направлений развития. Множество направлений развития: X1 – увеличить мощность предприятия так, чтобы увеличить выпуск продукции в 1,4 раза за 3 года. Х2 – обеспечить ежегодные в теч. 3-х лет 5,4% рост производительности труда Х3 – повысить удельный рост продукции высшей категории качества Х4 – высвободить рабочих, занятых тяжелым ручным трудом и работающих во вредных условиях Х5 – увеличить объем продукции на экспорт Х6 – организовать выпуск товаров народного потребления Эксперты провели парные сравнения мероприятий следующим образом: Эксперт 1 Х1~Х2 Х1 Х2 Х3 Х4 Эксперт 2 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Эксперт 3 Х1 Вариант 5 В институте появилась вакансия должности зав. лабораторией. Было подано 6 заявлений, и все допущены отделом кадров к участию в конкурсе. Требуется выявить предпочтительную кандидатуру, которая затем может быть рекомендована конкурсной комиссией совету института. Конкурсной комиссией был сформирован набор требований к кандидатам: Y1 – теоретическая подготовка Y2 – знания тематики института и лаборатории Y3 – административные способности Y4 – творческая активность Y5 – прочие признаки (возраст, опыт, стаж и т.п.) Необходимо отранжировать набор требований в порядке убывания важности для проведения конкурса и определить степень важности каждого требования. Для этого проводится экспертиза с привлечением D = 4 экспертов, которые попарно сравнивают требования. Эксперт 1. Y1 Y2 Y3 Y4 Эксперт 2. Y1 Y2 Y3 Y4 ~Y5 Эксперт 3. Y1 Y2 Y3 Y4 Эксперт 4. Y1 Y2 Y3 Y4 Вариант 6 Необходимо испытать новый нефтепровод. Для проведения испытаний были предложены следующие варианты: X1 – испытание водой при давлении 75 атм. (проектное давление) X2 – испытание воздухом при давлении 75 атм. X3 – испытание водой при 40 атм. (проходное давление) Х4 – испытание воздухом при 40 атм. X5 – испытание нефтью при 40 атм. Необходимо найти наиболее предпочтительный вариант и отранжировать варианты по степени важности испытаний. Для решения поставленной задачи были привлечены эксперты в количестве D = 3 чел. Эксперты для решения поставленной задачи провели парные сравнения всех вариантов друг с другом. Эксперт 1
Эксперт 2
Эксперт 3
Вариант 7 Экспертам машиностроительного завода в количестве 3-х человек необходимо отранжировать мероприятия по повышению качества продукции по степени важности и определить степень важности каждого мероприятия, если список составляет 6 мероприятий. X1 – повышение качества сырья Х2 – создание премиального фонда Х3 – модернизация оборудования Х4 – повышение квалификации рабочих Х5 – сокращение управленческого аппарата Х6 – закупка лицензий Эксперты провели парные сравнения мероприятий следующим образом: Эксперт 1 Х1~Х2 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Эксперт 2 Х1 Х2 Х3 Х4 Эксперт 3 Х1 Х2 Х3 Х4 Вариант 8 Перед руководителем фирмы стоит задача выбора важнейших направлений развития. Множество направлений развития: X1 – увеличить мощность предприятия так, чтобы обеспечить выпуск продукции в 1,4 раза за 3 года. Х2 – обеспечить ежегодные в теч. 3-х лет 5,4% рост производительности труда Х3 – повысить удельный рост продукции высшей категории качества Х4 – высвободить рабочих, занятых тяжелым ручным трудом и работающих во вредных условиях Х5 – увеличить объем продукции на экспорт Х6 – организовать выпуск товаров народного потребления Эксперты провели парные сравнения мероприятий следующим образом: Эксперт 1 Х1~Х2 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Эксперт 2 Х1 Х2 Х3 Х4 Эксперт 3 Х1 Х2 Х3 Х4
|
), где s – номер эксперта, i – номер объекта, h – номер показателя (признака) сравнения.
(4.1)
~ 
(s, l = 1,2, …. d) (4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
, если больше половины экспертов высказались за это предпочтение. Таким образом, все элементы обобщенной матрицы парных сравнений определяются по правилу большинства голосов.
~ 
.
Y2 Y1 
Y3 Y1 ~ Y4 Y1 
X1 ~ X5
