Ре­ше­ние. Обе точки и не могут ле­жать вне тре­уголь­ни­ка, по­сколь­ку в этом слу­чае от­ре­зок

Обе точки и не могут ле­жать вне тре­уголь­ни­ка, по­сколь­ку в этом слу­чае от­ре­зок не может ка­сать­ся впи­сан­ной окруж­но­сти. Зна­чит, по край­ней мере одна из этих точек лежит на сто­ро­не тре­уголь­ни­ка.

 

Пусть обе точки и лежат на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка. Че­ты­рех­уголь­ник — впи­сан­ный, сле­до­ва­тель­но,

 

 

Зна­чит, тре­уголь­ник по­до­бен тре­уголь­ни­ку , так как угол — общий. Пусть ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен , тогда , , . Суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равны:

 

 

 

 

Под­став­ляя из­вест­ные зна­че­ния сто­рон, на­хо­дим . Сле­до­ва­тель­но, .

 

Пусть точка лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны . Углы и равны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на одну дугу. Зна­чит, тре­уголь­ник по­до­бен тре­уголь­ни­ку , так как угол — общий. Более того, они опи­са­ны около одной и той же окруж­но­сти. Сле­до­ва­тель­но, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 1, то есть, тре­уголь­ни­ки и равны, по­это­му . За­ме­тим, что и точка дей­стви­тель­но лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны .

 

Если точка лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны , то , но, ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю, по­лу­ча­ем . Зна­чит, этот слу­чай не до­сти­га­ет­ся.

 

Ответ: .

5. C 4. Точка — центр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка , в ко­то­ром . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков , И .

 

Вариант № 3833168

1. C 4. Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ги­по­те­ну­зе пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, от­се­ка­ет от него че­ты­рех­уголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если от­ре­зок этой пря­мой, за­ключённый внут­ри тре­уголь­ни­ка, равен 12, а ко­си­нус остро­го угла равен .