Основные свойства степенных рядов

Пусть дан степенной ряд (2) с радиусом сходимости R>0.

Th 1. О равномерной сходимости степенного ряда

Каково бы не было число , то степенной ряд (2) равномерно сходится на любом отрезке .

□

Возьмем . Так как принадлежит области сходимости ряда (2), то числовой ряд сходится, а он является мажорирующим рядом для степенного ряда (2) на отрезке : при всех . Ряд (2) на отрезке сходится равномерно (в силу достаточного признака Вейерштрассе о равномерной сходимости функционального ряда).

■

Th 2. О непрерывности суммы степенного ряда

Сумма ряда (2) на интервале является непрерывной функцией.

□

Пусть - произвольная точка. Пусть . На отрезке ряд (2) в силу Th 1 сходится равномерно его сумма в силу теоремы о непрерывности суммы функционального ряда непрерывна на отрезке , а значит и в точке . А так как - произвольная точка интервала , то теорема доказана.

■

Из теорем о равномерной сходимости степенного ряда и теорем о почленном дифференцировании и интегрировании равномерно сходящихся функциональных рядов вытекают следующие теоремы.

Th 3. О почленном интегрировании степенного ряда.

Степенной ряд (2) можно почленно интегрировать от 0 до любого .

Th 4. О почленном дифференцировании степенного ряда.

Степенной ряд (2) можно почленно дифференцировать на интервале .