Описание линеuйных САУ переменными состояния

 

Линейную САУ описывают системой ОДУ в нормальной форме Коши

 

= ,

= , (1)

= ,

 

или в матричной форме

 

 

Таким образом, в компактной векторно-матричной форме САУ может быть описана при помощи уравнения

 

,(3)

в котором - квадратная матрица [п х п], называемая матрицей коэффициентов, а - прямоугольная матрица [п х т], называемая матрицей управления.

Для полного описания САУ к уравнениям состояния (1) или (2) добавляют уравнения связи между переменными состояния x(t), x₂(t)...,x_n(t) и выходными

переменными y (t), y₂(t),..., y_p(t):

 

 

 

(4)

 

или в векторно-матричной форме

(5)

 

где - прямоугольная [р х п] матрица, называемая матрицей выхода.

Таким образом, в общем виде САУ описывают векторно-матричными уравнениями

 

где - прямоугольная [р х п] матрица, называемая матрицей обхода системы.

Первое из этих уравнений - собственно уравнение состояния, описывает изменение состояния САУ во времени в зависимости от начальных условий (НУ) и входного воздействия U. Второе уравнение - уравнение выхода, устанавливает связь между текущими (мгновенными) значениями переменных состояния X и входных переменных U, с одной стороны, и выходных переменных У - с другой. Другими словами, уравнение состояния описывает динамику САУ, а уравнение выхода является "статическим" соотношением. Второе слагаемое этого уравнения D • U отражает прямую связь (не динамическую) выхода со входом (рисунок 2).

 

 

Часто = 0. Тогда

 

(7)

 

В этом случае уравнение (5) называют часто уравнением наблюдения. Известно, что не все переменные САУ наблюдаемы (измеримы). Наблюдаемыми являются лишь те, которые составляют вектор выхода У. Среди измеримых переменных обычно находятся и управляемые переменные.

Математические модели САУ вида системы уравнений (6) и (7) считают третьей стандартной формой ММ.

Как было отмечено, векторно-матричные уравнения (7) описывают многомерную САУ. Эта же совокупность уравнений служит ММ одномерной САУ, т.е. системы с одним входом и одним выходом. При использовании МПС такие САУ часто называют системами со скалярным входом и выходом, т.к. входная и выходная величины являются скалярными. Уравнения состояния и выхода одномерной системы имеют вид

 

(8)

где

 

, , (9)

 

Существенным считают структуру матриц. Матрицы подобной структуры относят к матрицам произвольного вида. Одной из задач МПС является преобразование матриц произвольного вида к матрицам специального вида.