Студопедия — Основные правила комбинаторики
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Основные правила комбинаторики






Дифференциальное уравнение изгиба круглых пластин при действии произвольной поперечной нагрузки:

 

В случае осесимметричного нагружения уравнения принимают вид:

Решение основного уравнения имеет вид:

 

(*)

 

Для нахождения произвольных постоянных (констант) используем граничные условия.

 

В заделке:

 

На свободном крае:

 

В результате получим систему четырех алгебраических уравнений для нахождения четырёх констант С1, С2, С3, С4:

 

 

Далее, определяем произвольные постоянные и подставляем их в формулы (*),

по которым строим графики.


 


 


 


 


 


 


 

Часть I. Случайные события.

Глава 1. Элементы комбинаторного анализа.

Одной из основных задач комбинаторики является подсчет числа элементов конечных множеств, заданных каким-либо дескриптивным условием. Рассмотрим типовые ситуации.

 

Основные правила комбинаторики

Пусть имеется k групп А12,...,Аk, причем i-ая группа содержит ni элементов. Тогда:

А. Правило умножения (основная теорема комбинаторики). Общее число N способов, которыми можно получить упорядоченную совокупность (a1,a2,...ak), где aiÎAi (т.е. выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке), равно

.

 

Б. Правило сложения. Если один элемент из группы Ai можно выбрать ni способами, и при этом любые две группы Ai и Aj не имеют обших элементов, то выбор одного элемента или из A1, или из A2,..., или из Ak можно осуществить

способами.

 

Задача 1. В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов это сделать?

Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 студентов, заместителем - любой из оставшихся 29, а профоргом - любой из оставшихся 28 студентов, т.е. n1=30, n2=29, n3=28. По правилу умножения общее число N способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно

N=n1´n2´n3=30´29´28=24360.

 

Задача 2. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

Решение. Первое письмо имеет n1=2 альтернативы – либо его относит к адресату первый почтальон, либо второй. Для второго письма также есть n2=2 альтернативы и т.д., т.е. n1=n2=…=n10=2. Следовательно, в силу правила умножения общее число способов распределений писем между двумя почтальонами равно

.

 

Задача 3. В ящике 100 деталей, из них 30 – деталей 1-го сорта, 50 – 2-го, остальные – 3-го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?

Решение. Деталь 1-го сорта может быть извлечена n1=30 способами, 2-го сорта – n2=50 способами. По правилу суммы существует N=n1+n2=30+50=80 способов извлечения одной детали 1-го или 2-го сорта.

 

 

§ 2. Упорядоченные совокупности (последовательный выбор)

Пусть имеется некоторая конечная совокупность элементов {a1,a2,...,an}, называемая генеральной совокупностью и n – объем этой совокупности. Пусть эксперимент состоит в том, что из генеральной совокупности последовательно выбирают k элементов и располагают их в порядке выбора. Возможны две ситуации.

 

А. Размещения без повторений. Отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется размещением k элементов из n, или последовательным выбором без возвращения. Итак,

размещения – это упорядоченные совокупности k элементов из n, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов.

Например. Пусть имеется множество из трех элементов. Тогда все размещения двух элементов из трех таковы:

Требуется найти число различных способов, которыми можно произвести последовательную выборку без возвращения k элементов из генеральной совокупности объема n. Очевидно, что первый элемент можно выбрать n1=n способами, и так как отобранный элемент не возвращается в генеральную совокупность, то следующий элемент выбирается из совокупности, объем которой на один элемент меньше, то есть n2=n-1, и т.д. так, что nk=n-(k-1). Тогда по правилу умножения общие число N способов равно N=n(n-1)...(n-(k-1)). Такое число обозначается , т.е. , или

.

В частном случае, когда выбираются все элементы генеральной совокупности, т.е. когда k=n, размещения называются перестановками.

 

Перестановки – это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов.

Число всех перестановок множества из n элементов обозначается и вычисляется по формуле

.

Например. Все перестановки множества из трех элементов устроены так: и

 

Б. Размещения с повторениями. Если каждый отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность, то такой выбор называется размещением с повторениями (или последовательный выбор с возвращением). Так как на каждом шаге выборка производится из генеральной совокупности объема n, то общее число различных способов, какими можно произвести выборку с возвращением k элементов из генеральной совокупности объема n равно .

Пример. Все размещения с повторениями двух элементов из множества с тремя элементами :

Задача 4. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и их порядком следования, поэтому

Задача 5. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные премии?

Решение. Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком. Так как каждый фильм может получить призы как по одной, так и по нескольким номинациям, то одни и те же фильмы могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 10 элементов по5:

 

§ 3. Неупорядоченные совокупности (одновременный выбор)

А. Сочетания без повторений. Если комбинации из n элементов по k отличаются только составом элементов, то их рассматривают как одновременный неупорядоченный выбор k элементов из генеральной совокупности объема n и называют сочетаниями из n элементов по k. То есть,

сочетания – это неупорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга только составом элементов.

Например.Все сочетания без повторений двух элементов из множества :

Формула для вычисления числа сочетаний n элементов по k:

Свойства числа сочетаний:

 

Б. Сочетания с повторениями. Если в сочетаниях из n элементов по k некоторые из элементов или все могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания называются сочетаниями с повторениями из n элементов по k, и число сочетаний с повторениями из n элементов по k равно

Пример. Все сочетания с повторениями двух элементов из множества :

Задача 6. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетания из 16 элементов по 2. Их число равно

Задача 7. В условиях задачи 5 определить, сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены одинаковые призы?

Решение. Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок фильмов в комбинации 5 призов значения не имеет, и число вариантов представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по 5, определяемое по формуле

Задача 8. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Их число равно

 







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 3041. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

Меры безопасности при обращении с оружием и боеприпасами 64. Получение (сдача) оружия и боеприпасов для проведения стрельб осуществляется в установленном порядке[1]. 65. Безопасность при проведении стрельб обеспечивается...

Весы настольные циферблатные Весы настольные циферблатные РН-10Ц13 (рис.3.1) выпускаются с наибольшими пределами взвешивания 2...

Хронометражно-табличная методика определения суточного расхода энергии студента Цель: познакомиться с хронометражно-табличным методом опреде­ления суточного расхода энергии...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.027 сек.) русская версия | украинская версия