Результаты расчета. Пример 6. Пусть функция задана неявным образом .

Рассмотрим пример.

Пример 6. Пусть функция задана неявным образом .

Вычислить .

Решение. Пусть переменная является функцией. Продифференцируем обе части уравнения по переменной

Получаем уравнение, которое неявным образом задаёт производную функции

(5.1)

Отсюда находим

(5.2)

Из формулы (5.2) видно, что при неявном дифференцировании производная зависит и от аргумента и от значения функции .

Вычисляем вторую производную. По определению вторая производная это производная от первой производной.

При неявном дифференцировании для вычисления второй производной необходимо

знать уравнение, которому удовлетворяет первая производная. В нашем случае это

уравнение (5.1): .

Применяя правило неявного дифференцирования, получаем

Получаем уравнение для вычисления (5.3)

Отсюда находим : .

Замечание. При неявном дифференцировании вторая производная зависит от аргумента , от функции и её производной .

Пример 7. Найти уравнение касательной и нормальной прямой в точке к линии заданной уравнением .

Решение. Пусть переменная будет аргументом функции . В данном случае функция задана неявным образом. Уравнения касательной и нормали в точке касания имеют вид

(5.4)

и

(5.5)

соответственно.

Как видно из этих уравнений нам потребуется значение производной функции в точке касания. Применяя правило неявного дифференцирования, вычисляем производную в точке

Отсюда выписываем уравнение для определения производной

и вычисляем . Поэтому

Подставляя вычисленные значения в уравнение касательной (5.4), получаем

. Подставляя вычисленные значения в уравнение нормали (5.5),

получаем .

Параметрические задания линий.

Существует ещё один способ задания линий, при котором координаты

считаются равноправными: это задание кривых параметрическими уравнениями.

Координаты являются функциями некоторого параметра (скажем, времени)

(5.6)

Параметр обычно изменяется в каком-нибудь интервале .

Пример 8. Определить уравнения кривых заданных параметрическими уравнениями

Решение. Анализируем первую систему уравнений. Возводим оба уравнения системы 1) в квадрат и, складывая, получаем . Данная кривая это окружность единичного радиуса: . Аналогично для системы 2) получаем . Это уравнение прямой линии .

Если при параметрическом задании функции считать переменную функцией, а переменную аргументом то возникает вопрос каким образом вычислить производную функции по аргументу . Для этого существует правило

параметрического дифференцирования. Причем производная также записывается

в параметрическом виде.

Теорема 4.1. Пусть функция задана параметрическими уравнениями Тогда, если , то её производную по аргументу также можно записать параметрическими уравнениями

(5.7)

Доказательство. Из формулы (5.6) следует, что функцию можно записать

уравнением . Дифференцируя это уравнение по параметру , получаем . По условию теоремы . Следовательно, и формула (5.7) доказана.

Если обозначить для простоты записи , тогда формулу (4.7) можно переписать

в виде (5.8)

Поскольку вторая производная есть производная от первой производной, то применяя правило параметрического дифференцирования к параметрической записи первой производной (5.8) получаем параметрическую запись второй производной

(5.9)

Пример 9. Используя правило параметрического дифференцирования, найти и для функции заданной в параметрическом виде

Решение. Для вычисления параметрического задания производной функции находим предварительно . Затем,применяя формулу(5.7), получаем параметрическое задание производной функции и записываем ответ

Для вычисления параметрического задания второй производной функции

находим предварительно .

Затем, применяя формулу (5.9), получаем параметрическое задание второй производной функции и записываем ответ

Упражнение 1. Используя операцию неявного дифференцирования, найти

и из уравнений

Ответы.

Упражнение 2. Используя операцию параметрического дифференцирования, найти для функций заданных в параметрическом виде

Ответы.

Написать уравнения касательной и нормали заданным кривым в точке

1) при ; 2) , в точке (0;1).

Решение. 1) Выписываем уравнение касательной и

уравнение нормали . По условию Применяя формулу (5.7) получаем . Подставляя полученные данные в уравнение касательной и уравнение нормали получаем соответственно: и .

2) Используя решение примера 7, уравнение касательной и уравнение нормали получаем соответственно:

Самостоятельная работа. Сборник задач. Часть первая. №№242-248.

 

 

Результаты расчета

Деформированная схема (маx перемещения 0,007мм)

σx(kH/м2)

Изолинии распределения напряжений

σz (kH/м2)

Txy(kH/м2)

σx(kH/м2)

σz (kH/м2)

Txy(kH/м2)