Модель текущего и среднего прироста должна отвечать следующим условиям.

* Рост дерева начинается с его появления из семени или из черенка и др. при вегетативном размножении. На временной шкале этот момент соответствует нулевой точке. На координатных осях в подобных случаях временной осью является ось абсцисс.

* В начальном периоде жизни рост относительно медленный, но в какой-то момент ускоряется.

* В старшем возрасте рост резко замедляется. Прирост дерева не может быть отрицательным. Равным нулю- да, но не отрицательным. Прирост насаждения по запасу и другим средним таксационным признакам, когда отпад превышает увеличение запаса растущих деревьев, может быть отрицательным.

Таким образом, сформулируем требования к модели текущего и среднего прироста.

- Начало кривой должно проходить через начало координат—точку 0.

- Кривая должна иметь не менее 2 точек перегиба: начало интенсивного роста и его конец.

- До определенного времени кривая идет вверх (увеличение абсолютнсй величины прироста), а потом она направлена вниз—снижение прироста.

- Кривая, характеризующая рост дерева, не должна пересекать ось абсцисс, а эта же кривая для насаждения может её пересекать.

Перечисленным требованиям могут соответствовать разные кривые. Выбор оптимального уравнения определяется из условия минимальной достаточности. Предпочтение отдают наиболее простому выражению, отвечающему заданным требованиям. Этому условию в отношении прироста отвечает парабола 3 порядка: у = а₀ + а₁ х + а₂ х² + а₃ х³

В настоящее время для моделирования прироста древостоев используют более сложные модели, учитывающие много факторов: древесная порода, регион, полнота класс бонитета, состав древостоя и т.д.Примером может служить модель текущего прироста по запасу для сосны в сосново-еловом древостое, разработанная В.Ф. Багинским и Р.Л. Тереховой уравнение (16.1).

lnZ = ln (9,7180--1,130 Б)+0,3105exp(0,280Б)ln(А/10)+

+А/(-4,735+0,4656Б)+0,7730ln(G/10)+0,0024Аln(G/10)+

+[(-0,2800)(lnG/10)²]+ 0,0027А(lnG/10)². (16.1),

где Z - текущий прирост, м³/га;

G - сумма площадей сечения сосновой части древостоя, м²/га;

Б - класс бонитета;

А - возраст лет.

 

Графики прироста пдля ели (формула 16.1) для древостоев разных классов бонитета (1—4) показаны на рисунке. 16.1.

Рисунок. 16.1. Текущий прирост еловых древостоев при максимальных суммах площадей сечения по классам бонитета

 

Модели текущего и среднего прироста пересекаются в точке максимума последнего. Впервые это убедительно доказал, используя методы математического моделирования, К.Е.Никитин. Приведем это доказательство в интерпретации и символах названного учёного.

Для древостоев хвойных пород в первые 50-60 лет текущий прирост обычно больше среднего, в 50-60-летнем возрасте оба вида прироста одинаковы, а в последующий период они неизменно уменьшаются, причем быстрее падает текущий прирост. Такое соотношение между приростами, установленное по опытным данным, закономерно, что подтверждается также приводимым ниже теоретическим расчетом.

Возьмем в жизни дерева или насаждения два момента, отделенных один от другого промежутком в 1 год. Первый момент обозначим через n, второй через n+1.. Соответственно этому текущий прирост в эти два момента обозначим через Z _n и Z _n+1, а средний — D _n и D _n+1.

Составим следующее уравнение для определения текущего прироста:

Z _n+1 = D _n+1 (n+1) - D _n n (16.2)

После несложных алгебраических преобразований оно примет следующий вид:

Z _n+1 - D _n+1 = (D _n+1 - D _n) n 16.3)

Анализируя это уравнение, приходим к заключению, что при увеличении среднего прироста текущий прирост будет больше среднего:

D _n+1 > D _n; Z _n+1 > D _n+1, (16.4)

при уменьшении - меньше среднего:

D _n+1 < D _n; Z _n+1 < D _n+1 , (16.5)

а при неизменности среднего прироста —текущий прирост равен среднему:

D _n+1 = D _n; Z _n+1 = D _n+1 .(16.6)

Отсюда можно заключить, что в изменении приростов наблюдаются два периода. В первый период средний прирост хотя и возрастает, но текущий прирост неизменно оказывается выше среднего; во второй период оба вида прироста уменьшаются, причем текущий прирост оказывается меньше среднего. В момент равенства приростов средний прирост достигает максимума, а затем начинает уменьшаться.

Этот факт в настоящее время бесспорен и имеет убедительное математическое обоснование. Действительно, учитывая, что изменение текущего и среднего прироста с возрастом описывается уравнениями элементарных функций, можем записать, что текущий прирост (у₁) представляет собой функцию возраста (х), т.е. у₁= f(x). Общая производительность древостоя в возрасте х (М_х)--это сумма текущих приростов до этого возраста, т.е.

М_х = (16.7)

Средний прирост у₂ в возрасте х определяем по формуле

у₂ = М_х / х. (16.8)

Учитывая (16.7), имеем

(16.9)

Поскольку нам необходим max у₂, то уравнение (16.9) исследуем на максимум

откуда

Принимая во внимание (16.8) и (16.9), получим

f(x) = М_х / х

или max Z^ср = Z^тек .

 

Максимум текущего прироста по массе наступает раньше, чем максимум среднего прироста. По абсолютной величине максимум текущего прироста больше максимума среднего, поскольку последний наступает в тот момент, когда текущий прирост перешел в стадию падения. Представление о соотношении приростов дает рисунок. 16.2.

 

 

Рис. 16.2. Соотношение текущего (пунктир) и среднего (сплошная линия) приростов

 

Приведенное на рисунке (16.2) соотношение двух кривых типично для отдельных деревьев и целых древостоев. Этот же рисунок дает представление о характере изменения прироста при увеличении возраста, о чем сказано выше.

 

Эта закономерность имеет не только теоретическое, но и важное практическое значение, так как широко используется при установлении возрастов количественной и технической спелостей леса.