ЗАДАНИЕ № 3

1. Найти стационарные точки и точки экстремума функции

.

Сделать по одному шагу методом наискорейшего спуска (НС) из начальных точек

.

Оценить значение коэффициента скорости сходимости в методе НС для итерационных процессов, для которых

точки локальных минимумов, к которым сходится метод НС из указанных точек . Найти предельное значение коэффициента скорости сходимости.

2. Для решения задачи при условии с e -точностью методами дихотомии, золотого сечения и Фибоначчи найти число вычислений функции для e = 10^–7и e = 10^–10.

3. Какую скорость сходимости к точке минимума имеет метод Ньютона при минимизации функций если

где –симметричная положительно определенная матрица,

4. Пусть векторы – линейно независимы, Построим систему векторов

при этом система такова, что

Доказать, что векторы , сопряжены относительно матрицы А, а также справедливо соотношение

(*)

Используя формулу (*), решить систему линейных уравнений (**), когда система

предварительно симметризовав её.

5. Показать, что в методе сопряженных градиентов для квадратичной функции f (х) на каждом k- м шаге при (вектор направления убывания: ) в точке реализуется минимум функции f (х) на аффинном множестве

.

6. Определить скорость сходимости метода Ньютона и метода наискорейшего спуска и окрестность, из которой эти методы сходятся к оптимальному решению следующей задачи:

Замечание: При решении задачи замену переменных не использовать.

7. Найти минимум функции методом Ньютона и методом сопряженных градиентов, где

8. Найти при условиях: методом множителей Лагранжа. Построить для данной задачи двойственную и решить ее. Сравнить решения этих задач.

9. Для задачи непрерывно дифференцируемая функция, сформулировать необходимые условия экстремума, если

Сформулировать для указанных задач достаточные условия экстремума первого порядка, второго порядка, достаточные условия острого экстремума. Сформулировать для задачи математического программирования необходимые и достаточные условия оптимальности первого и второго порядков.

10. Рассмотрим задачу № 1 (КЗ) и задачу № 2 (МП):

где функции – непрерывно дифференцируемые. Представим задачу МП в следующем виде:

Используя для задачи № 3 теорему о необходимом условии оптимальности для задачи № 1 (метод множителей Лагранжа для К 3; теор. 1.5, глава 1 ), доказать следующую теорему для задачи МП (см ).

Теорема (ККТ). Пусть в задаче МП функции f и непрерывно дифференцируемы в окрестности некоторой допустимой точки линейно независимы.
Тогда если решение задачи МП, то существует единственный вектор такой, что

– множество индексов активных ограничений.