КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2
Общие положения
Применяемые для сварных конструкций металлы практически никогда не бывают химически чистыми, так как содержат легирующие добавки и примеси. Различная растворимость элементов в твердом и жидком металле основы приводит и к различной их концентрации в объемах металла, прилегающих к фронту кристаллизации со стороны твердой и жидкой фаз. В равновесных условиях концентрацию ликвирующей растворимой примеси в твердом и жидком металле можно определить по диаграмме плавкости. Применительно к бинарной системе неограниченно растворимых компонентов А и В легко показать, что (19)
где СТв, СЖ – концентрация компонента В и А в твердой и жидкой фазах соответственно, k0 – равновесный коэффициент ликвации. Выражение (19) в случае реальных неравновесных условий кристаллизации, как показал Нернст, справедливо в непосредственной близости к фронту кристаллизации. На уровне макрообъемов имеет место локальное равновесие. Это позволяет использовать литературные данные по равновесному коэффициенту ликвации k0 для расчета поля концентрации ликвирующей примеси при кристаллизации сварочной ванны или слитка. Заметим, что процесс выпадения кристаллов различающегося химического состава, по сравнению с исходной жидкостью, иногда называют в литературе разделительной диффузией. Равновесный коэффициент ликвации некоторых элементов в железе приведен в табл. 1.2, с. 276, [1]. Важнейшее отличие между равновесным и неравновесным протеканием процесса кристаллизации состоит в следующем. При равновесной кристаллизации процесс идет бесконечно медленно и химический состав по ликвирующему элементу для всякой температуры из интервала ликвидус – солидус, как в жидкой, так и в твердой фазах полностью выравнивается. Выравнивание химического состава в жидкой фазе происходит за счет перемешивания металла и диффузии, а в твердой только за счет диффузии. В реальных условиях неравновесной кристаллизации выравнивание химического состава вблизи фронта кристаллизации ни в твердой ни в жидкой фазах происходить не успевает. В связи с этим в прифронтовой области устанавливается неравномерное нестационарное концентрационное поле – в твердом металле СS (x, t), а в жидкости СL (х, t) (для одномерного случая при плоском фронте). При построении математической модели предполагается, что фронт кристаллизации неподвижен, выравнивание концентрации ликвирующего элемента в твердой и жидкой фазах происходит за счет диффузии. Коэффициенты диффузии в твердом DS и жидком DL металле различны, но не зависят от температуры. Тогда концентрационные поля СS (x, t) и СL (х, t) подчиняются следующей системе дифференциальных уравнений диффузии (уравнений А. Фика): (20)
(21)
Фронт кристаллизации расположен перпендикулярно оси абсцисс при x =0, причем металлическая жидкость находится в области х >0. В исходном состоянии предполагается равномерное распределение ликвирующего элемента в обеих фазах с концентрациями С 0 L, и С 0 S в жидком и твердом металлах соответственно. Это дает начальные условия следующего вида:
(22) (23) На границе раздела фаз в любой момент времени условие локального термодинамического равновесия позволяет записать первое краевое условие при t >0: (24) Причем концентрация ликвирующего элемента в твердом теле вычисляется слева от фронта (при x <0), а в жидкости – справа (при x >0). Действие закона сохранения количества вещества в условиях разделительной диффузии ликвирующего элемента дает на границе раздела фаз краевое условие неизменности потока вещества из твердого металла в жидкость при t >0:
(25)
При этом, очевидно, закон сохранения вещества действует для всего рассматриваемого континуума, т. е. при t >0:
(26)
Поставленная выше краевая задача (20)... (26) для частного случая была решена Иостом, а в приведенной выше постановке – Б. А. Мовчаном. Ее решение имеет вид:
(27)
(28)
Диффузионная подвижность любого ликвирующего элемента в жидкости выше, чем в твердом металле – DL > DS. Достаточно тяжелым допущением при построении математической модели (20)... (28) является предположение о неподвижности фронта кристаллизации. Если отказаться от этого допущения и считать, что фронт перемещается по закону x = x(t) (задача Стефана), то условие (25) следует заменить на: (29)
при . Замена условия (25) на (29) делает поставленную краевую задачу нелинейной и резко усложняет ее решение. На рис. 3 по данным Б. А. Мовчана, для примера, приведено распределение ликвирующего в железе углерода.
Рис. 3. Распределение углерода в железе вблизи фронта кристаллизации: t – начальное при t =0; 2– t= 1 c; 3– t= 5 c; 4– t= 10 c при x >0 – жидкая фаза, при х<0 – твердая фаза, x =0 – фронт кристаллизации.
Помимо ликвации, другим важнейшим процессом, влияющим на формирование химической неоднородности металла сварных швов, является диффузия в твердой фазе (иногда называемая атомной диффузией). За счет диффузии происходит выравнивание неоднородности поля концентрации элементов, возникшей вследствие ликвации. В то же время при сварке разнородных металлов диффузия может привести к усилению химической неоднородности металла шва и околошовной зоны. Последнее может иметь место, как правило, при образовании химических соединений диффундирующего элемента с основой или растворенными в ней элементами. Возможны также случаи различного химического состава свариваемого и наплавленного металла, предусмотренные технологией сварки. Математическая модель процесса одномерной диффузии (одномерной для простоты рассмотрения) может быть представлена уравнением Фика второго рода, см. формулу (20). Однако это уравнение получено в предположении независимости коэффициента диффузии D от температуры. Такое допущение вполне оправдано для исследования процесса ликвации, так как последняя протекает в узком температурном интервале. В то же время расчет диффузионного перераспределения элементов в условиях термического цикла сварки требует учета зависимости коэффициента диффузии от температуры: (30)
где D 0 – частотный множитель, Е – энергия активации, R =8,31 Дж/моль×К. Так, например, коэффициент диффузии углерода в a-железе в диапазоне температур 500... 750 °С изменяется на два порядка. Второе уравнение Фика при условии D = D (Т) становится нелинейным:
(31)
Решение нелинейного уравнения (31) с соответствующими краевыми условиями является более сложным по сравнению с линейным. Простая для практического использования математическая модель расчета диффузионного перераспределения элементов под действием термического цикла сварки с учетом зависимости D (T) была предложена Г. Л. Петровым. Сущность этой методики состоит в следующем. Исследование аналитических решений ряда важных для практики краевых задач линейного уравнения диффузии показывает, что аргумент время (t) входит в решение в виде произведения на коэффициент диффузии, т. е. как Dt. Пусть в пределах некоторого малого объема металла расчетом или экспериментом определен термический цикл сварки (рис. 4). Разобьем температурный интервал от максимальной температуры до температуры низкой диффузионной подвижности исследуемого элемента Т 4 (см. рис. 4) на несколько отрезков, соответствующих периодам времени t 1, t 2 ..., t 4. В пределах выбранного периода ti коэффициент диффузии Di предполагается постоянным, соответствующим температуре Ti.
Рис. 4. К расчету диффузионного перераспределения элементов по методу Г.Л. Петрова. Для расчета поля концентрации диффундирующего элемента выбирается одно значение коэффициента диффузии (например, D 1). Вместо реальной длительности охлаждения объема металла t охл Г. Л. Петров предложил ввести эквивалентное время процесса: (32)
Далее, зная D э и t э можно воспользоваться для расчета поля концентрации готовыми аналитическими решениями задач изотермической диффузии, используя вместо параметра время t величину t э. Экспериментальные исследования подтвердили правомерность этой схемы, несмотря на отсутствие ее математического обоснования. Для иллюстрации методики использования модели Г. Л. Петрова рассмотрим расчет диффузионного перераспределения элементов при различном исходном химическом составе основного металла и металла шва. Пусть в момент отвердевания сварного шва концентрация исследуемого элемента в шве постоянна и равна С ош, а в основном металле С ом. Будем считать, что режим сварки и геометрические размеры сварного изделия с тепловой точки зрения удовлетворительно описываются схемой линейного быстродвижущегося источника в пластине, без учета поверхностной теплоотдачи:
(33)
где d – толщина свариваемой пластины, у – расстояние от оси шва до исследуемой точки А, t – время, прошедшее с момента прохождения источником тепла проекции точки на ось x. Продифференцировав формулу (33) по t и воспользовавшись необходимым условием максимума, легко найти максимальную температуру Тm, и время ее достижения tm по заданной координате исследуемой точки: (34) (35)
Положив Т=Тm, можно вычислить максимальную ширину сварного шва b: (36)
(37)
Для расчета поля концентрации С (x, t) воспользуемся готовым аналитическим решением задачи о диффузии элемента из слоя конечной ширины неограниченного образца в изотермических условиях (в соответствии с моделью Г. Л. Петрова, рис. 5). Можно показать, что для этого случая:
(38)
где t э рассчитывается по формуле (32).
Рис. 5. Диффузионное перераспределение элемента при различной концентрации его в шве и основном металле: а – схематизация сварного изделия; б – концентрационные кривые С (х, t):1 –tэ= 0; 2 –tэ=tэ; 3 –tэ=tэ, где 0< t 1< t 2.
Поскольку наибольший интерес представляет диффузионное перераспределение элементов вблизи границы сплавления, то D 1 следует выбрать по температуре Т 1, близкой к T пл. Тогда для углеродистых сталей можно положить Т 1 = 1500°С. Температурная кривая (рис. 4) должна соответствовать периоду охлаждения на кривой термического цикла, т. е. t ³ t m. При этом общее время охлаждения t охл можно ограничить остыванием до таких температур, при которых диффузионная подвижность большинства легирующих элементов примесей (за исключением водорода) в твердых металлах незначительна. Например, можно ограничиться уменьшением коэффициента диффузии в 100 раз:
(39)
В табл. 2 приведены энергия активации Е и частотный множитель D 0 для некоторых элементов в железе (по литературным данным).
Т а б л и ц а 2
Задача 1. Для заданных ликвирующих элементов и их начальных концентраций С 0 S и С0L, известным коэффициентам диффузии DL, DS и ликвации k0, рассчитать по методике Мовчана-Иоста распределение ликвирующих элементов вблизи границы сплавления в два различных момента времени t 1, t 2. Исходные данные и варианты приводятся в табл. 3. Результаты расчетов необходимо привести в виде графиков концентрационных зависимостей, аналогично показанным на рис. 3. Задача 2. По методу Г. Л. Петрова рассчитать диффузионное перераспределение заданных элементов, растворенных в железе, при различных исходных составах основного металла С ом и шва С ош. Геометрические размеры сварного изделия и режим сварки допускают применение тепловой схемы линейного быстродвижущегося источника в пластине. Исходные данные для расчета приведены в табл. 4. В пояснительной записке необходимо привести результаты расчетов на ЭВМ: t m, ym, b, Тm; координаты точек графика ветви охлаждения термического цикла и сам график; координаты точек концентрационной кривой C (x, t) и ее график (см. рис. 5). Т а б л и ц а 3
Варианты и исходные данные
Т а б л и ц а 4
Варианты и исходные данные
Указания. Расчет поля концентрации заданных ликвирующих элементов вблизи границы сплавления (задача 1) ведут с помощью формул (27), (28) в предусмотренные заданием моменты времени (табл. 3). Следует заметить, что функция ошибок Гаусса () вычисляется как стандартная подпрограмма матобеспечения современного компьютера или берется из справочных таблиц (например, [6]). Для расчета на компьютере концентрационных кривых СL (х, ti) и СS (х, ti), где ti заданные моменты времени, следует выбрать шаг по пространственной координате – D x. Первая точка соответствующей кривой определяется при x =0. Остальные находят при х=х 0+ n D x, где n целое от 1 до такого значения, при котором концентрация ликвирующей примеси отличается от исходной (С 0 L или С 0 S) не более, чем на 10%. Величина D x определяется численным экспериментом, в качестве начального приближения можно положить D x =0,02 мм. При выполнении задачи 2 по исходным данным (табл. 4) с помощью формул (36), (37) рассчитывают ширину сварного шва b, а по формулам (34), (35) время t m, достижения максимальной температуры Т m. Далее для точки y = y max (граница сплавления) рассчитывают по формуле (33) ветвь охлаждения (t ³ t m) кривой термического цикла. Воспользовавшись формулами (30), (39), предварительно определяют нижнюю расчетную температуру Т н кривой термического цикла. При этом, для удобства вычислений формулу (30) рационально предварительно прологарифмировать. Шаг по времени D t для расчета кривой охлаждения с помощью формулы (33), можно выбрать как долю от t m, например D t = tm /3. Для расчета эквивалентного времени t э, температурный интервал Тm…Т н делят на 3…5 промежутков. В граничных точках Ti каждого промежутка с помощью (30) вычисляют Di и затем по формуле (32) рассчитывают t э. После этого ведут расчет точек концентрационной кривой С (х, t э). Шаг D x по координате х выбирают на основе численных экспериментов, в качестве первого приближения можно положить D x= (мм). Расчеты прекращают при достижении концентрации в основном металле: Все необходимые по каждому заданию расчеты рационально проводить на компьютере в пределах одной программной единицы. В то же время, по усмотрению студентов, возможно использование и нескольких программных единиц. В отчете по всем расчетным заданиям, в случае использования компьютера, следует привести кроме полученных результатов исходные данные, листинг программы и распечатку результатов счета на ЭВМ.
|