Верификация

Верификацию данной программы начнём с рассмотрения покоящегося цилиндра без трения на стенках заполненного вязким газом. Для этого положим скорость вращения равную нулю и теплопроводность близкую к нулю (теплопроводность в программе нельзя задать нулевой, иначе уравнения вырождаются и Maple не понимает, как считать систему) и используем граничные условия свободного скольжения на стенках.

Построив теоретический график зависимости энергии волны от ее частоты, и сравнив его с полученным численно (Рис.8), легко увидеть, что на данном этапе метод даёт правильный результат.

 

 

 

Рис.8. Графики зависимости энергии волны от её частоты в вязком газе. Кривая зеленого цвета – теоретическая кривая, кривая синего цвета получена интерполяцией расчетных значений.

Ниже представлены теоретическая и аппроксимированная функции для данного случая, соответственно:

Среднеквадратичное отклонение коэффициента затухания, рассчитанного по этому методу от теоретического, составляет 0,76%.

Далее рассмотрим покоящийся цилиндр без трения на стенках заполненный вязким теплопроводящим газом, и сравним результаты с теоретическими (Рис.9).

 

 

Рис.9. Графики зависимости энергии волны от её частоты в вязком теплопроводящем газе. Кривая зеленого цвета – теоретическая кривая, кривая синего цвета получена интерполяцией расчетных значений.

 

 

Здесь представлены теоретическая и аппроксимируемая резонансные кривые для данного случая, соответственно:

Среднеквадратичное отклонение коэффициента затухания, рассчитанного по этому методу от теоретического, составляет 0,78%.

Как видно из Рис.8 и Рис.9 теоретическая и рассчитанная резонансные кривые совпадают, это говорит о правильности расчетов. Получим теперь численно зависимости коэффициента затухания звуковых волн в газе для двух случаев, имеющих теоретическое решение.

Первый случай - это покоящийся цилиндр, заполненный вязким теплопроводящим газом. Трение о стенку ротора для рассматриваемого случая не учитываем. Ранее для этого случая была получена формула (1.24):

считаем, что член со второй вязкостью не внесёт существенной поправки:

 

, (2.12)

 

Для наглядности преобразуем (2.9) в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:

 

(2.13)

 

На Рис.10 представлены теоретический и расчетный графики зависимости длины затухания волны от ее волнового числа в вязком теплопроводящем газе.

Рис.10. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные с учётом вязкости и теплопроводности в логарифмическом масштабе. – экспериментальный график, – теоретический график

 

Видно, что зависимость имеет степенной характер. Более того среднеквадратичное отклонение расчетной зависимости от теоретической оказывается даже меньше, чем для резонансной кривой и составляет 0,52%.

Рассмотрим второй случай - покоящийся цилиндр с трением на стенках заполненный идеальным газом. Теоретическая зависимость коэффициента поглощения от частоты возмущения имеет вид [10]:

 

также преобразуем её в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:

(2.14)

На Рис.11 представлены теоретический и расчетный графики для рассматриваемого случая.

Рис.11. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные с учётом трения на внешней стенке в логарифмическом масштабе. – экспериментальный график, – теоретический график

 

Эти графики также совпадают. А среднеквадратичное отклонение для этого случая составляет 0,56%.

Предполагая, что коэффициент затухания аддитивная величина. И зная, что формула (2.13) учитывает только поглощение за счёт вязкости и теплопроводности, а формула (2.14) учитывает поглощение за счёт трения о стенку, производим расчет, учитывающий оба этих явления.

И сравниваем результат с теоретическими предсказаниями, которые складываются из первого и второго эффекта по формуле:

(2.15)

на Рис.12 видно, что теоретическая и расчетная зависимости имеют одинаковый вид.

 

Рис.12. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные в логарифмическом масштабе. - экспериментальный график учитывающий вязкость, теплопроводность и трение на внешней стенке, - теоретический график учитывающий вязкость и теплопроводность, - теоретический график учитывающий трение на внешней стенке, - теоретическая зависимость рассчитанная по формуле (2.15)

 

Как теоретическая, так и расчетная зависимости при малых волновых числах k асимптотически стремятся к зависимости, учитывающей трение о стенку, а при больших волновых числах k учитывающую вязкость. Отсюда можно сделать вывод, что при малых волновых числах k основную роль в затухании играет процесс трения на стенках, но при их росте всё большую роль играет вязкость газа и его теплопроводность.

2.5. Расчёт

Теперь рассчитаем случай максимально приближенный к реальной центрифуге: вращающийся цилиндр со всеми диссипативными взаимодействиями (трением на внешней стенке, вязкостью и теплопроводностью).

Для этого случая теоретических зависимостей нет, поэтому нам придётся полагаться на расчет и полученный ранее коэффициент затухания звука в центробежном поле сил.

Зная зависимость коэффициента затухания звука от его частоты (1.24) и рассчитанный выше поправочный коэффициент на скорость вращения ротора (2.8), несложно получить зависимость длины затухания волны от её волнового числа для рассматриваемого случая:

= (2.16)

с которой расчёт полностью согласуется.

Формула (2.14) не учитывает трения на стенках цилиндра. На данный момент не существует теоретических моделей, учитывающих трение на стенках цилиндра для звуковых волн в сильном центробежном поле. Поэтому для этого случая построен численный график зависимости длины затухания звуковой волны от ее волнового числа.

Производя вычисления по формуле:

(2.17)

Где - расчетная зависимость глубины проникновения волны от ее волнового числа с учетом силы трения,

получаем зависимость глубины проникновения волны от ее волнового числа, учитывающую молекулярную вязкость, теплопроводность и трение на стенке ротора. Все зависимости приведены на Рис.13.

 

Рис.13. Графики зависимости глубины проникновения волны от её волнового числа построенные в логарифмическом масштабе. глубины проникновения учитывающая вязкость, теплопроводность и трение на внешней стенке рассчитанная экспериментально, - теоретическая глубины проникновения учитывающая вязкость и теплопроводность, рассчитанная по формуле (2.16), - теоретическая глубины проникновения учитывающая трение на внешней стенке, теоретическая зависимость, рассчитанная по формуле (2.17)

 

С помощью Рис.12 и Рис.13 можно сделать вывод о характере затухания звуковой волны в центробежном поле. При малых волновых числах k основную роль в затухании играет процесс трения на стенках, и так же, как и без поля, с ростом увеличивается роль объемных процессов диссипации. Зависимости имеют идентичный вид, однако смещенный по оси примерно на два порядка. Это говорит о том, что дополнительным параметром диссипации является центробежное поле сил.

Также проведён расчет зависимости длины пробега звуковой волны в вязком теплопроводящем газе от радиуса ротора для двух случаев: с трением и без. Результаты расчета представлены на Рис.14.

 

Рис.14. Графики зависимости длины затухания волны от радиуса ротора в вязком теплопроводящем газе для двух случаев: - с трением, - без трения

Посмотрев на Рис.15 можно видеть, что, когда рассматривается случай без трения о стенку длина затухания волны растет прямо пропорционально радиусу ротора. Это понятно если провести аналогию с током, текущим по проводу: чем больше площадь сечения провода, тем больше его проводимость. Но если рассматривать случай с трением о стенку ротора, то зависимость имеет вид ассиметричного колокола. С пиком в области 2 см. Этот пик можно объяснить следующим образом. Сила трения о стенку ротора увеличивается пропорционально радиусу ротора. При значениях радиуса близких к нулю влияние силы трения незаметно. Начиная со значения радиуса равного примерно 0,5 см сила трения начинает воздействовать на волну, тем самым заставляя ее затухать. А так как сила увеличивается прямо пропорционально радиусу, то в какой-то момент возникает пик.