Трехкратные повороты

- Vocabulary game in net: https://www.youtube.com/watch?v=9D8oVMfBv54 – 2 hours

- Reading the text “On the Move” – 4 hours

 

- Make a vocabulary with new definitions about the topic “Transport” – 2 hours, no less than 150 words – 2 hours

 

- Academic writing: Comparing data – 8 hours

 

 

Трехкратные повороты

 

Матрицу поворота, определяющую произвольную ориентацию одной системы координат относительно другой, можно представить в виде произведения трех матриц элементарных поворотов

, (1)

где - матрица -го элементарного поворота вокруг оси на угол . Значение соответствует повороту вокруг оси , – вокруг оси и – вокруг оси .

Матрицы элементарных поворотов имеют следующий вид

, , ,

где введены сокращенные обозначения , для тригонометрических функций углов поворота .

Для этих матриц можно записать следующее общее выражение

, (2)

где - единичный вектор оси с номером ; .

В выражении (1) должны выполняться условия и , поскольку соседние повороты не должны производиться вокруг одной и той же оси. Поэтому возможны только следующие 12 комбинаций поворотов

: ;

: .

Комбинация {1,2,3} соответствует углам Брайнта, их также называют углами Кардана. Комбинации {3,1,3}, {3,2,3}, {3,2,1} соответствуют 1, 2, 3 системам поворотов в углах Эйлера. Комбинация {2,1,3} соответствует корабельным углам Крылова. Комбинация {2,3,1} соответствует самолетным углам {угол рыскания, угол тангажа, угол крена}.

На основании взаимной ортогональности единичных векторов можно получить следующие выражения

, , ,

, (3)

, - -й элемент матрицы ,

, , .

Обозначим индексом 1 исходную систему координат, а систему координат, полученную в результате трехкратного поворота от нее индексом 2. Используя (2),(3) можно получить выражения для элементов матрицы поворота в выражении (1). В полученных выражениях и далее будут использоваться следующие обозначения

,

,

.

В случае матрица поворота имеет следующий вид

. (4)

В случае матрица поворота имеет следующий вид

. (5)

Предположим, что значения элементов матрицы поворота (4),(5) известны

.

Тогда можно получить решения для тригонометрических функций углов поворота.

В случае из матрицы (4) получаем следующее решение

, ,

, , (6)

, .

Для решения (6) имеем особый случай при . При этом оси 1-го и 3-го поворотов совпадают. Из (6) получаем следующее решение для углов поворота для случая

,

, (7)

,

где .

В случае из матрицы (5) получаем следующее решение для тригонометрических функций углов поворота

, ,

, , (8)

, ,

Для решения (8) имеем особый случай при . При этом оси 1-го и 3-го поворотов совпадают. Из (8) получаем следующее решение для углов поворота для случая

,

, (9)

.

Используя выражения для матриц поворота (4), (5) можно получить выражения для матриц , с использованием которых угловые скорости систем координат определяются выражением

, (10)

где .

Продифференцировав (10) можно получить выражение для векторов в выражении для угловых ускорений систем координат

Отметим, что

;

,

где в качестве выступают .

В случае матрица и вектор имеют следующие значения

, (11)

. (12)

В случае матрица и вектор имеют следующие значения

, (13)

. (14)

Рассмотрим условия вырожденности матрицы , когда ее определитель становится равным нулю.

В случае определитель , и получаем следующие условия вырождения матрицы

.

В случае определитель , и получаем следующие условия вырождения матрицы

.

Если матрица не вырожденная, то можно вычислить значение обратной матрицы . Используя обратную матрицу можно определить скорости и ускорения элементарных поворотов

,

.

В случае матрица определяется следующим выражением

.

В случае матрица определяется следующим выражением

.