Некоторые сведения из векторного анализа.

Математические модели электрического и магнитного полей обычно представлены в векторной форме, поскольку эти поля представляются в виде сил, действующих в определенных направлениях вдоль касательных к линиям, которые называются силовыми линиями полей. Для математических операций с полями используется векторный анализ. Минимальные сведения и соотношения, которые изложены в настоящем разделе.

Прежде, чем приступить к изучению основного материала теории электромагнетизма, полезно ознакомиться с некоторыми соотношениями из векторного анализа, так как математические модели объектов в электромагнитной теории удобно представить в векторном виде.

Обратимся к известной дифференциальной операции, операции градиента некоторой скалярной величины j. Градиентом называют вектор имеющий направление быстрейшего увеличения величины и равный по модулю производной по этому направлению Ñ- оператор Гамильтона,

или

В качестве примера можно привести градиент атмосферного давления над поверхностью Земли.

Рис. 1 Плоскости одинакового давления атмосферы над Земной поверхностью

 

На Рис. 1 представлены изобары — плоскости одинакового давления атмосферы над Земной поверхностью при пересечении их плоскостью XY.

В этом случае они выглядят в виде параллельных линий. Поскольку Р₀>Р₁>Р₂>Р₃>Р₄ вектор градиента

так как

Векторное представление удобно тем, что позволяет заранее не использовать какие-либо координаты, а оперировать непосредственно с вектором, поэтому можно использовать интегральное представление оператора Гамильтона и применить его для величин векторных.

тогда

Оператор Гамильтона называют оператором объемного дифференцирования

Рис. 2 Объем V и стягивающая его поверхность S.

Здесь предполагается V - бесконечно малый объем, на котором имеет место точка, в которой вычисляются результаты объемного дифференцирования. Объем V окружает замкнутую поверхность S, dS - ее элемент, умноженный на единичный вектор n (сокращенно ее часто обозначают dS) Единичный вектор n - нормален к поверхности S. lim обозначает, что поверхность стягивается к точке на поверхности S(r) (Рис. 2). Известны три основные операции grad, div, rot.

(2)

(3)

носит в математике название "расхождение" и представляет собой поток вектора через замкнутую вокруг источника вектора односвязную поверхность S.

В декартовых координатах величина скалярная и может быть представлена как

(4)

определяет циркуляцию вектора A вихрь вектора вдоль контура L. (Рис. 3).

 

Рис. 3 Циркуляция вектора.

На рис. 3 dl - единичный вектор вдоль касательной к контуру L. Если объект действия оператора Гамильтона - V фиксирован, то с ним можно производить операции, как с обычным вектором, в декартовых координатах,

тогда

Разложение по ортам в цилиндрической координате имеет вид

Оператор Гамильтона является и дифференциальным оператором и поэтому в соответствии с правилом дифференцирования

следует

Используя это обстоятельство можно вывести ряд формул

учитывая что,

-называют оператором Лапласа

или

(8)

Следует заметить, что используя дифференциальные операции можно получить формулы:

(9)

(10)

так как векторное или скалярное произведение трех векторов, из которых два одинаковых обращается в 0.

Важная теорема Стокса, которая формулируется следующим образом "Циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку вихря вектора через поверхность ограниченную этим контуром", что можно представить в виде выражения

(11)

в пределе S_k®0, поскольку S конечна.

В теории электромагнетизма используют теорему, которая получила название Остроградского-Гаусса. Формулируется она следующим образом "Поток вектора через замкнутую поверхность S равен объемному интегралу от расхождения вектора , что можно записать следующим образом

(13)

Это соотношение может быть получено, как следствие более общей теоремы Остроградского.