Предельные теоремы для биномиального распределения

При

Распределение Пуассона (закон редких явлений)

 

Случайная величина имеет распределение Пуассона, если

- параметр распределения. Доказано, что M ξ= D ξ =λ.

 

Пример распределения Пуассона. На плоскость (на прямую, в пространство) случайно бросают точки со средней плотностью а точек на единицу площади. Если:

1) вероятность попадания т точек в некоторую фиксированную область D площадью зависит только от величины и не зависит от формы D и положения D на плоскости;

2) в непересекающиеся области точки попадают независимо друг от друга;

3) вероятность попадания в область малой площади двух и более точек много меньше вероятности попадания одной точки,

то распределение точек описывается распределением Пуассона:

P (попадание в D m точек) = где λ = a – математическое ожидание числа точек, попавших в D.

 

Использование примера:радиоактивный распад, булочки с изюмом, разброс осколков снаряда, заболевание редкими (не инфекционными) болезнями, заградительный зенитный огонь, очаги пожаров в городе.

 

M ξ = D ξ = λ => λ - безразмерная величина!

 

Биномиальное распределение при р ≈ 0, np < 10 хорошо приближается распределением Пуассона с λ = np.

 

при λ = 3. (см. таблицу)

График

 

ДЗ.: Исследовать дискретное равномерное распределение.

 

Равномерное распределение ξ на [ a, b ]

Определяется ПР

 

Важный пример: при b-a =0,5

c =2, т.е. возможно, для не-

которых x f(x) >1

ФР ξ

 

График

 

При

- зависит только от длины [α, β] и не зависит от расположения [α, β] в [ a, b ].

- бесконечное множество – любое значение из [ a, b ].

Пусть η=kξ+l. Тогда η; имеет равномерное распределение на [ka+l, kb+l] при k>0 и на [kb+l, ka+l] при k<0.

Почему не существует равномерное распределение ξ на ?

Примеры равномерных распределений:

1. Время ожидания поезда метро.
2. Ошибка при грубых измерениях.