Уравнения потенциального движения

 

Потенциалом поля скоростей фильтрационного течения называется функция

. 2.5

Равенство (2.5) можно переписать в виде

 

2.6

или, учитывая закон Дарси,

 

. 2.7

 

Здесь r`u - вектор массовой скорости фильтрации; gradj - градиент потенциала j, направленный в сторону быстрейшего возрастания j,

 

;

 

(a)- декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; i, j, k, e_Q, e_j, e_r, e_z - единичные вектора по осям координат x, y, z, Q, j, r и z (цилиндрическая система).

Подставляя (2.7)в (2.1) получим

 

, 2.8

 

а для установившегося течения

 

. 2.9

 

Уравнения (2.8) и (2.9) называют уравнениями Лапласа относительно функции j, а оператор Dj оператором Лапласа.

Уравнение Лапласа имеет два важных свойства, которые имеют большое практическое приложение, а именно:

сумма частных решений является также решением уравнения Лапласа;

произведение частного решения на константу - также решение.

Данные свойства приводят к принципу суперпозиции.

В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид

 

;

где: (a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты.